Геометрические и физические приложения

2.3 Геометрические и физические приложения

1) Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

 (39)

2) Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью  заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l:

 - (41)

-                     статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

 - (42)

-                     момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

  - (43)

-                     моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

 . (44)

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

, (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля  вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Решение.

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

6)                Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

 (46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

 (47)

Пример 8.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z² + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности

 Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

8) Моменты поверхности:

 (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

 (49)

-                     моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

 - (50)

-                     моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

 - (51)

-                     момент инерции поверхности относительно начала координат

9)                Координаты центра масс поверхности:

. (52)

Список используемой литературы

1.           Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.

2.           Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.

3.           Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

4.           Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.

5.           Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.

6.           Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.

7.           Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004.

8.           Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.

9.           Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.