Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса

1. Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи

Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций . Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда  - конечный интервал.

В таком случае, как известно, функция  является ограниченной, т.е. . В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от  заменяется некоторой линейной комбинацией значений  в  точках :

(1)

Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты  - квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы  - узлами квадратурной формулы.

Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения  были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.

2. Методы Ньютона-Котеса

Пусть  различные точки отрезка , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию  функции . Тогда имеем:

 

(2)

где  - остаточный член. Предположим, что

 

(3)

причём  подобраны так, чтобы все интегралы

 

(4)

можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу

 

 (5)

2.1 Формула трапеций

Частным случаем методов Ньютона-Котеса является квадратурная формула трапеции. Подынтегральную функцию будем интерполировать по формуле Лагранжа, в том случае, когда на каждом отрезке деления принимается линейная интерполяция, а результаты суммируются (рис 1):

Рис. 1.

а) графический вывод:

Определённый интеграл , как известно, задаёт площадь  криволинейной трапеции , поэтому, вписав ломаную в дугу кривой , мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:

 

(6)

Между тем, очевидно, что

(7)

Так как, в методах Ньютона-Котеса, , учитывая (6) получаем:

 (8)

или, соединяя подобные члены, имеем:

 (9)

Формула (9) – называется формулой трапеций.

б) Аналитический вывод:

Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка , построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения . Ясно, что в таком случае интерполирующая функция  имеет вид:

(10)

т.к. в методе Ньютона-Котеса , учитывая (3) и (4), из (10) получаем:

 (11)

Аналогично, , т.е.

 (12)

Таким образом, получаем формулу:

 (13)

тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:

  (14)

где . Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).