Кривые второго порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кривые второго порядка

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Окружность. Эллипс

2 Гипербола

3 Парабола

4 Литература

1 Окружность. Эллипс

 

При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведениех^·у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями:  – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R;  – уравнение гиперболы,  – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть  – центр
окружности. R – радиус окружности. Пусть  – произвольная точка окружности. Следовательно, = =

(1)

(1) – уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами  

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем  т. е.  – межфокусное расстояние эллипса.

Пусть  – произвольная точка эллипса. Величины   называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Умножим (2) на

(3)

Сложим уравнения (2) и (3):

(4)

Возведем (4) в квадрат:

Пусть

 (5)

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение – каноническое уравнение эллипса с центром в точке

Числа а и  называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки ,  называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

Так как

(6)

 

Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

(7)

Следовательно,  причем  когда  т. е. имеем окружность.

При  стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

Выразим фокальные радиусы точки  через эксцентриситет. Из (4):

(8)

Из (3):

Значит, подставив координаты точки  эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

Прямые  называются директрисами эллипса.

– левая директриса,

 – правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

(9)

т. е. отношение расстояния r_i от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d_i от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.