Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 БРАВАЯ Е.Н.

Научный руководитель:

доцент, к. ф-м. н. ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:

профессор, д. ф-м. н. СТАРОВОЙТОВ Э.И.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа 38 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, парабола, гипербола, окружность, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло, фокус.

Данная работа содержит результаты исследований автора, относящиеся к качественному исследованию в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

Содержание

Реферат

Введение

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.52) - (1.53)

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение

Известно, что в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с. 191-211] и уточнены Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].

 (0.1)

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P (x,y) и Q (x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

 (0.2)

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного алгебраического интеграла системы (0.1) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.1), в которых P (x,y) и Q (x,y) - полиномы второй степени.

Н.Н. Баутиным [1, с.181 - 196] и Н.Н. Серебряковой [8, с.160 - 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А.И. [11, с.1752 - 1760] и Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

В данной работе рассматривается система

 (0.3)

и проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что частным интегралом является кривая четвертого порядка, которая распадается на две кривые второго порядка, одна из которых парабола, вторая окружность или гипербола.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем

 

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

 (1.1)

Пусть система (1.1) имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k (x,y) - однородные полиномы от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмем параболу вида:

F (x,y) º y+a₁ x² +a₂ x+a₃ = 0 (1.3)

Будем предполагать, что a₃ ¹ 0, то есть парабола не проходит через начало координат.

Согласно [10, с.1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

, (1.4)

где L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постоянные.

Тогда следуя формуле (1.4) получим равенство:

(2a₁x+a₂) (ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²) + (cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²) = = (y+a₁x²+a₂x+a₃) (px+my+n).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ слева и справа, получим равенства:

(2a₁-p) a₁= 0 (1.5₁)

(4b₁-m) a₁= 0 (1.5₂)

2a₁c₁= 0 (1.5₃)

(2a-n) a₁+ (a₁-p) a₂+a₂= 0 (1.6₁)

2a₁b+ (2b₁-m) a₂+2b₂+p= 0 (1.6₂)

a₂c₁+c₂-m= 0 (1.6₃)

(a-n) a₂-pa₃n+c= 0 (1.7₁)

a₂b-a₃m+d-n= 0 (1.7₂)

a₃n= 0 (1.7₃)

Пусть a₁¹ 0, тогда из равенств (1.5₁), (1.5₂), (1.5₃), (1.6₃) и (1.7₃) получаем, что

P=2a₁, m=4b₁, c₁=0, c₂=4b₁, n=0 (1.8)

Из соотношений (1.6₁), (1.6₂) и (1.7₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.3) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

a₁, (1.9)

a₂, (1.10)

a₃. (1.11)

Равенство (1.7₂) с учетом полученных выражений (1.9) - (1.11), даст условие, связывающее коэффициенты a, b, c, d, a₁, a₂, b₁, b₂:

 (1.12)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.3), коэффициенты которого выражаются формулами (1.9) - (1.11), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.12) и c₁= 0, c₂= 4b₁, a₁¹0, 2b₁a-a₁b¹0.

 

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

Пусть теперь система (1.1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл в виде:

y²+sx²+bx+gy+d=0 (1.13)

Будем рассматривать теперь систему:

 (1.14)

Согласно формуле (1.4), где L

(x,y) = m₁x+n₁y+p₁,

m₁, n₁, p₁ - постоянные для системы (1.1), имеем:

(2a₁-m₁) s²= 0 (1.15₁)

(4b₁-n₁) s+2a₁= 0 (1.15₂)

m₁= 4b₂ (1.15₃)

n₁=8b₁ (1.15₄)

(2a-p₁) s+ (a₁-m₁) b+a₂g=0 (1.16₁)

2bs+ (2b₁-n₁) b+ (2b₂-m₁) g+2c= 0 (1.16₂)

(4b₁-n₁) g+2d-p₁= 0 (1.16₃)

(a-p₁) b+cg+m₁d= 0 (1.17₁)

bb+ (d-p₁) g-n₁d= 0 (1.17₂)

p₁d= 0 (1.17₃)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть d¹0.

Пусть s¹0, тогда из равенств (1.15₁), (1.15₃), (1.15₄) и (1.17₃) получаем, что

m₁=4b₂, n₁=8b₁, a₁=2b₂, p₁=0 (1.18)

А из соотношений (1.16₁), (1.16₃) и (1.17₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.13) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

 (1.19)

 (1.20)

 (1.21)

 (1.22)

Подставляя коэффициенты s, b, g и d в равенства (1.16₂) и (1.17₂), получим два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₂, b₁, b₂:

 (1.23)

 (1.24)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.14) имеет частный интеграл (1.13), коэффициенты которого выражаются формулами (1.19) - (1.22), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.23), (1.24) и b₁¹0, b₂¹0, a₁=2b₂.

 

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

В разделах 1.1-1.2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых второго порядка при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

 (1.25)

Причем b₁¹0, b₂¹0, a₁¹0, b₁a-b₂b¹0.

Выражая c из первого уравнения системы (1.25), получим

 (1.26)

Подставим (1.26) во второе и третье уравнения системы (1.25). Получим два соотношения, связывающие параметры a, b, d, a₂, b₁, b₂:

Пусть и

 (1.27)

Из первого уравнения системы (1.27) получим

Подставляя во второе уравнение системы (1.27), найдем

.

Из соотношений (1.25) при условиях (1.27) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

 (1.28)

 (1.29)

 (1.30)

, , , ,  (1.31)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) - (1.31), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a₁ (1.32)

a₂ (1.33)

a₃ (1.34)

s (1.35)

b (1.36)

g (1.37)

d (1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.32) - (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.28) - (1.31).

Пусть

 (1.39)

Из первого уравнения системы (1.39) найдем

, .

Подставляя  во второе уравнение системы (1.39), получим равенство:

 (1.40)

Поскольку , то рассмотрим два случая:

, тогда .

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.40) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

, ,  (1.41)

, , , ,  (1.42)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.41) - (1.42), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a₁ (1.43)

a₂ (1.44)

a₃ (1.45)

s (1.46)

b=0 (1.47)

g (1.48)

d (1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.43) - (1.49), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.41) - (1.42).

 

б)  (1.50)

 (1.51)

Из (1.50) найдем :

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.50) - (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

,  - любое число,  (1.52)

, , , ,  (1.53)

Равенства (1.9) - (1.11) и (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) - (1.53), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a₁=0 (1.54)

a₂ (1.55)

a (1.56)

s (1.57)

b (1.58)

g (1.59)

d (1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.54) - (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.52) - (1.53).

2. Качественное исследование построенных классов систем

 

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

Будем проводить наше исследование в предположении, что , , .

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) - (1.31), тогда система (1.1) запишется в виде:

 (2.1)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

 (2.2)

 (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:

 (2.4)

Из (2.4) получаем, что

, , , .

Ординаты точек покоя имеют вид:

, , , .

Итак, имеем точки

, , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке .

Отсюда

 (2.5)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Или

.

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни  - действительные, различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно, точка  - седло.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Согласно

равенствам (2.5) характеристическое уравнение примет вид:

,

Или

.

Характеристическими числами для точки  системы (2.1) будут

,

то есть

, .

Корни  - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка

 -

неустойчивый узел, если d>0, то точка

 -

устойчивый узел.

Исследуем точку .

Применяя равенства (2.5), составим характеристическое уравнение в точке

:

Характеристическими числами для точки

 

системы (2.1) будут

,

то есть

, .

Корни  - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка  - устойчивый узел, если d>0, то точка  - неустойчивый узел.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Применяя равенства (2.5), получим:

,

Или

Характеристическими числами для точки

 

системы (2.1) будут

,

то есть

, .

Корни  - действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка

 -

седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости в конце оси oy. Преобразование

 [7]

переводит систему (2.1) в систему:

 (2.6)

где .

Для исследования состояний равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку . Составим характеристическое уравнение в точке.

Получим, что

 

Корни  - действительные и одного знака. Следовательно, точка  - устойчивый узел.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7]  Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

 (2.7)

где .

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:

Получаем, что . Следовательно, состояний равновесия вне концов оси oy нету.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

d					∞
					x=0
(-∞; 0)	седло	неуст. узел	уст. узел	седло	уст. узел
(0; +∞)	седло	уст. узел	неуст. узел	седло	уст. узел

Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.1 (а, б).

Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).

Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.

а (d<0)

б (d>0)

Рис. 1

 

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

Будем проводить наше исследование в предположении, что

  

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

 (2.8)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

 (2.9)

 (2.10)

Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)