Метод Лобачевського-Греффе

1. Метод Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь (випадок дійсних коренів)

1.1 Загальні властивості алгебраїчних рівнянь

Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (n≥1)

, (1)

де коефіцієнти a0, a1, … , an – дійсні числа, причому a0≠0.

В загальному випадку вважатимемо перемінну x вважатимемо комплексною.

Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (1) має рівно n коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожен корінь рахується стільки разів, яка його кратність.

При цьому кажуть, що корінь ξ рівняння (1) має кратність s, якщо

,

. (символи над P означають похідні)

Комплексні корені рівняння (1) володіють властивістю парної сполученості.

Теорема. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1) – дійсні, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-сполучені, тобто якщо

(α, β – дійсні) є коренем рівняння (1) кратності s, то число

також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.

Відзначимо, що модулі цих коренів однакові:

.

Якщо x1, x2, … , xn - корені рівняння (1), то для лівої частини його вірний розклад

. (2)

Звідси, роблячи перемноження біномів в формулі (2) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в лівій та правій частині рівняння (2), отримаємо співвідношення між коренями та коефіцієнтами між коренями та коефіцієнтами рівняння:

 (3)

Ліві частини рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два і т. д. з n.

Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння

x3+px2+qx+r=0

задовольняють умовам:

Якщо враховувати кратність коренів, то розкладання (2) приймає вигляд

,

де x1, x2, …, xm (m≤n) – різні корені рівняння (1) й α1, α2, ..., αm – їх кратності, причому

α1+ α2+...+ αm=n.

Похідна виражається наступним чином:

,

де Q(x) – поліном такий, що

Q(x)≠0 при k=1, 2, …, m.

Тому поліном

є найбільшим загальним дільником поліному P(x) і його похідної P'(x). Як відомо, поліном R(x) може бути знайдений за допомогою алгоритму Евкліда. Складаючи відношення

,

отримаємо поліном

з дійсними коефіцієнтами A0=a0, A1, …, Am, корені якого x1, x2, …, xm різні.

1.2 Постановка задачі методу

Дано алгебраїчне рівняння n-ного ступеню:

знайти корені рівняння (тобто всі значення змінної x, при яких рівняння вірне).

1.3 Ідея методу

Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню

, (1)

де . Припустимо, що корені рівняння (1) x1, x2, …, xn такі, що

, (2)

тобто корені різні за модулем, при чому модуль кожного попереднього кореня значно більший модуля наступного. Іншими словами, ми припускаємо, що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи у порядку спадання їх номерів, є величина, мала за модулем, тобто

 (3)

де |k|< та  - мала величина. Такі корені для кратності називатимемо відділеними (треба зауважити, що в загальному випадку це можуть бути як дійсні так і комплексні корені).

Скористаймося тепер співвідношеннями між коренями та коефіцієнтами рівняння (1)

Звідси в силу припущення (3) ми отримуємо:

 (4)

де E1, E2, …, En – малі за модулем величини у порівнянні з одиницею. Нехтуючи в рівностях (4) величинами Ek (k=1, 2, …, n), будемо мати наближені відношення

 (5)

Звідси знаходимо шукані корені

 (6)

Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1), складають перетворене рівняння

, (7)

коренями якого y1, y2, …, yn є m-ті ступені коренів x1, x2, …, xn рівняння (1), тобто

yk=xkm (k=1, 2, …, n). (8)

Якщо корені рівняння (1), які ми вважаємо розташованими у порядку спадання модулів, є різними за модулем, то корені рівняння (7) при досить великій степені m будуть відділеними, тому що

 при .

Наприклад, нехай

x1=2; x2=1,5; x3=1.

При m=100 матимемо:

y1=1,27*1030; y2=4,06*1017; y1=1 і, відповідно,  .

Зазвичай в якості показника m беруть ступінь числа 2, тобто вважають m=p2, де p – натуральне число, а саме перетворення роблять у p прийомів, кожен раз складаючи рівняння, коренями якого є квадрати коренів попереднього рівняння.

Наближено обчисливши корені yk(k=1, 2, …, n), з формул (8) можна визначити і корені вихідного рівняння (1). Точність обчислень залежить від того, наскільки малим є відношення модулів сусідніх коренів перетвореного рівняння.

Ідея цього методу обчислення коренів належить Лобачевскому, практично зручна схема обчислень була запропонована Греффе.

Достоїнством метода Лобачевського-Греффе є те, що при використанні цього методу немає необхідності ізолювати корені. Треба лише позбавитися від кратних коренів. Саме обчислення коренів ведеться регулярним способом. Метод придатний також для знаходження комплексних коренів. Незручність методу полягає в необхідності оперування з досить великими числами. Крім того, відсутній достатньо надійний контроль обчислень й ускладнена оцінка точності отриманого результату.

Зауважимо, що якщо корені рівняння (1) різні, але модулі деяких з них близькі між собою, то збіжність метода Лобачевського-Греффе досить повільна. В цьому випадку такі корені варто розглядати як рівні за модулем і використовувати спеціальні прийоми обчислення.