Схема программы

4.4 Схема программы

Логическая структура программы решающей задачи ЛП симплекс методом приведена на Рис.12, Рис.13, Рис.14.

Рис.12 Симплекс метод

Рис.13 Поиск r-столбца

Рис.14 Поиск s-строки

Заключение

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования производственной деятельности. В этих условиях только научный подход к экономике предприятий позволит обеспечить высокие темпы развития промышленности. Научного подхода требует и решение тактических и стратегических задач.

В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение как в экономических исследованиях и планировании, так и в других задачах. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники.

Уже накоплен большой опыт постановки и решения экономических и тактических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального управления. Экономика и производство развивается быстро там, где широко используются математические методы.

Список литературы

1.         Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: в 2-х т. Т.2: Пер с англ. - М.: Мир, 1991. - 342с., ил. Раздел Целочисленное линейное программирование

2.         Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. - СПб: Питер, 2002. - 208 с.: ил. - (Серия "Краткий курс"). Раздел 4.2 Метод Гомори

3.         Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. — 7-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 95-141. — ISBN 0-13-032374-8

4.         Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1

5.         Ершов А.Т., Карандаев И.С., Шананин Н.А. Планирование производства и линейное программирование. МИУ, М., 1981.

6.         Акулич И.Л., «Математическое программирование в примерах и задачах», Москва «Высшая школа» 1993г.

7.         Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. «Математическое программирование», Москва «Высшая школа» 1980г.

8.         Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методологии. М.: Изд-во «Наука», 1980.

9.         Джерод Холлингворс, Дэн Баттерфилд, Боб Свот C++ Builder 5. Руководство разработчика = C++ Builder 5 Developer's Guide. — М.: «Диалектика», 2001. — С. 884. — ISBN 0-672-31972-1

10.      Джаррод Холингворт, Боб Сворт, Марк Кэшмэн, Поль Густавсон Borland C++ Builder 6. Руководство разработчика = Borland C++ Builder 6 Developer's Guide. — М.: «Вильямс», 2004. — С. 976. — ISBN 0-672-32480-6

11.      Леоненков А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel BHV-Санкт-Петербург ISBN: 5941575033 2005 г.

Приложение 1

Листинг программы

// Этот файл определяет класс симплекс метода

#include <vcl.h>

#include <list>

#include "CD.cpp"

#ifndef CSM2_H

#define CSM2_H

namespace SM

{

//----------------Симплекс метод------------------------------

class CSM

{

public:

CSM( int n, int m );

void SetBaz( int * baz );

int SetT( CD ** T );

void Show();

AnsiString GetWord();

AnsiString GetTacker();

AnsiString Get_Rap();

int operator<<=( CSM * csm );

CD get_CF();

CD** get_ogr(){ return T; }

int* get_baz(){ return baz; }

int get_rez(){ return rez; }

void get_nm( int* nIn, int* mIn ){ *nIn = n; *mIn = m; }

void get_ij( int* i, int* j ){ *i = a_i; *j = a_j; }

~CSM( );

private:

static int iter; // Число итераций

int optim(); // проверка решение (0 - оптимальное, 1 - не существует, 2 - не оптимальное)

int n; // Число переменных

int m; // Число ограничений

int a_i;

int a_j; // Координаты разрешающего элемента

int * baz; // Массив базисных переменных

CD ** T; // Симплекс таблица

int rez;

};

int CSM::iter = 0; // Число итераций

CSM::CSM( int nIn, int mIn )

{

n = nIn;

m = mIn;

baz = new int [m];

T = new CD * [m + 1]; // m + 1 т.к. еще строка целевой функции

for( int i = 0; i < m + 1; i++ )

T[i] = new CD [n + 1]; // n + 1 т.к. еще свободный член

iter += 1;

rez = 2;

}

CSM::~CSM( )

{

delete baz;

for( int i = 0; i < m + 1; i++ )

delete T[i];

delete T;

iter -= 1;

}

void CSM::SetBaz( int * bazIn )

{

for( int i = 0; i < m; i++ )

baz[i] = bazIn[i];

}

int CSM::SetT( CD ** TIn ) // Копирование входящей таблицы и проверка решения с поиском разрешающего элемента

{

for( int i = 0; i < m + 1; i++ )

for( int j = 0; j < n + 1; j++ )

T[i][j] = TIn[i][j];

return optim();

}

int CSM::optim()

{

a_i = a_j = 0; // Инициализация координат разрешающего элемента

// Проверка на отрицательность среди свободных членов

for( int i = 1; i < m; i++ ) // проверка свободного члена

if( T[i][0].get_d() < T[a_i][0].get_d() ) // Ищем минимальный

a_i = i;

if( T[a_i][0].get_d() < 0 ) // Если минимальный элемент отрицательный (двойственный СМ)

{

for( int j = 1; j < n + 1; j++ ) // проверка на наличие отрицательных эл-тов в строке

if( T[a_i][j].get_d() < 0 ) // есть отрицательные элементы

{

a_j = j; // Первый отрицательный элемент

break; // Выход из цикла поиска

}

if( a_j == 0 ) return rez = 1; // Нет оптимального решения // выход

for( int j = a_j + 1; j < n + 1; j++ ) // Проходим по строке еще раз для нахождения минимального отношения

if( T[a_i][j].get_d() < 0 ) // Отрицательный

if( fabs( (T[m][j]/T[a_i][j]).get_d() ) < fabs( (T[m][a_j]/T[a_i][a_j]).get_d() ) ) // Наименьшее отношение

a_j = j;

return rez = 2; // продолжение выполнений итераций // выход

}

// Проверка на отрицательность среди элементов целевой функции

a_j = 1;

a_i = m;

for( int j = 2; j < n + 1; j++ ) // Проходим по строке целевой функции

if( T[m][j].get_d() < T[m][a_j].get_d() ) // Ищем минимальный

a_j = j;

if( T[m][a_j].get_d() < 0 ) // Есть отрицательный элемент в целевой функции

{

for( int i = 0; i < m; i++ ) // Проходим по столбцу

if( T[i][a_j].get_d() > 0 )

{

a_i = i; // Первый положительный элемент

break; // Выход из цикла поиска

}

if( a_i == m ) return rez = 1; // Нет оптимального решения // выход

for( int i = a_i + 1; i < m; i++ ) // Проходим по столбцу еще раз для нахождения минимального отношения

if( T[i][a_j].get_d() > 0 ) // Положительный

if( fabs( (T[i][0]/T[i][a_j]).get_d() ) < fabs( (T[a_i][0]/T[a_i][a_j]).get_d() ) ) // Наименьшее отношение

a_i = i;

return rez = 2; // продолжение выполнений итераций // выход

}

return rez = 0; // оптимальное решение // выход

}

int CSM::operator<<=( CSM * csmIn ) // Здесь из предыдущей таблицы получается новая

{

a_i = csmIn->a_i;

a_j = csmIn->a_j;

// Делим на разрешающий элемент разрешающую строку и меняем базисную переменную

for( int j = 0; j < n + 1; j++ )

T[a_i][j] = csmIn->T[a_i][j] / csmIn->T[a_i][a_j];

// Домножаем разрешающую строку на эл-т в разрешающем столбце, соотв-щий данной строке, и складываем с данной строкой

for( int i = 0; i < m + 1; i++)

{

if( i == a_i) continue;

for( int j = 0; j < n + 1; j++ )

T[i][j] = csmIn->T[i][j] - T[a_i][j] * csmIn->T[i][a_j];

}

// Вводим новую переменную в базис

for( int i = 0; i < m; i++ )

baz[i] = csmIn->baz[i];

baz[a_i] = a_j;

return optim();

}

CD CSM::get_CF()

{

return T[m][0];

}

void CSM::Show( )

{

AnsiString tab;

tab = "БП\tСЧ";

for( int j = 0; j < n; j++)// шапка

tab = tab + "\tX" + AnsiString( j + 1 );

for( int i = 0; i < m + 1; i++ )

{

if( i == m ) tab = tab + "\nY";

else tab = tab + "\n" + baz[i];

for( int j = 0; j < n + 1; j++)

tab = tab + "\t" + T[i][j].get_a();

}

// ShowMessage(tab);

}

AnsiString CSM::GetWord()

{

// Таблица

AnsiString tab;

tab = "\n<table border=3 cellpadding=5 ><tr bgcolor=\"#aaaaaa\">";

tab += "<td align=\"center\">БП</td><td>СЧ</td>";

for( int j = 0; j < n; j++)// шапка

{

tab += "<td align=\"center\">";

tab = tab + "X_{" + (j+1) + "}";

tab += "</td>";

}

tab += "</tr>";

for( int i = 0; i < m + 1; i++ )

{

tab += "<tr>";

tab += "<td bgcolor=\"#aaaaaa\" align=\"center\">";

if( i == m ) tab += "F'";

else tab = tab + "X_{" + baz[i] + "}";

tab += "</td>";

for( int j = 0; j < n + 1; j++)

{

if( i == a_i && j == a_j && rez == 2 ) tab += "<td bgcolor=\"#cccccc\">";

else tab += "<td align=\"center\">";

tab += T[i][j].get_a();

tab += "</td>";

}

tab += "</tr>";

}

tab += "</table>";

return tab;

/*

AnsiString tab;

tab = "БП;СЧ;";

for( int j = 0; j < n; j++)// шапка

if( j == n - 1 ) tab = tab + "X" + AnsiString( j + 1 );

else tab = tab + "X" + AnsiString( j + 1 ) + ";";

for( int i = 0; i < m + 1; i++ )

{

if( i == m ) tab = tab + "\nF';";

else tab = tab + "\nX" + baz[i] + ";";

for( int j = 0; j < n + 1; j++)

if( j == n ) tab = tab + T[i][j].get_a();

else tab = tab + T[i][j].get_a() + ";";

}

return tab;

*/

}

AnsiString CSM::GetTacker()

{

AnsiString tab;

for( int i = 0; i < m; i++ )

{

tab += AnsiString("X") + baz[i] + " = ";

tab += T[i][0].get_a() + " - ( " + T[i][1].get_a() + "*X1";

for( int j = 2; j < n + 1; j++)

{

bool is_b = false;

for( int d = 0; d < m; d++ )

if( j == baz[d] )

{

is_b = true;

break;

}

if( !is_b )

tab += T[i][j].get_s() + "*X" + AnsiString( j );

}

tab += " )\n";

}

tab += "\nЦелевая функция:";

tab += "\nF' = " + T[m][0].get_a() + " - ( " + T[m][1].get_a() + "*X1";

for( int j = 2; j < n + 1; j++)

{

bool is_b = false;

for( int d = 0; d < m; d++ )

if( j == baz[d] )

{

is_b = true;

break;

}

if( !is_b )

tab += T[m][j].get_s() + "*X" + AnsiString( j );

}

tab += " )\n";

return tab;

}

AnsiString CSM::Get_Rap()

{

AnsiString Rap;

if( rez == 0 )

{

if( T[m][0] == 0 )

Rap = "Решение оптимальное. Искусственный базис получен. Далее подставляем новые бвазисные пременные в целевую функцию.";

else Rap = "Решение оптимальное, но целевая функция не равна 0. искусственного базиса нет.";

}

else if( rez == 1 )

{

if( a_j == 0 ) Rap = AnsiString( "Решения не существует. Целевая функция неограничена, т.к. свободный член при X" ) + baz[a_i] + " отрицательный, а другие элементы строки не отрицательные.";

else if( a_i == m ) Rap = AnsiString( "Решения не существует. Целевая функция неограничена, т.к. элемент в строке целевой функции при X" ) + a_j + " отрицательный, а другие элементы столбца не положительные.";

}

else if( rez == 2 )

{

Rap = AnsiString( "Решение продолжается. Из базиса выводится X") + baz[a_i] + " и вводится X" + a_j + ".";

}

return Rap;

}

}

#endif // CSM_H

// Этот файл определяет класс дроби

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#ifndef CD_H

#define CD_H

#define PR_COUNT 5000

int mas[PR_COUNT] = {0};

void Generate_Prost();

class CD // Класс дробь

{

public:

CD::CD( int = 0, int = 1 );

bool Set( int hi, int lo );

bool Set( double d );

bool Set( AnsiString d );

bool SetInv( AnsiString d );

int hi(){ return m_hi; }; // числитель

int lo(){ return m_lo; }; // знаменатель

double get_d(); // возвращает десятичное значение

AnsiString get_a(); // возвращает строку обычной дроби

AnsiString get_s(); // возвращает строку обычной дроби

CD get_dr();

int get_cel();

CD get_abs();

CD operator*(CD d);

CD operator*(int num);

CD operator/(CD d);

CD operator/(int num);

CD operator+(CD d);

CD operator+(int num);

CD operator-(CD d);

CD operator-(int num);

CD operator=(CD d);

CD operator=(int num);

bool operator==(CD d);

bool operator==(int num);

bool operator!=(CD d);

bool operator!=(int num);

private:

int m_hi; // числитель

int m_lo; // знаменатель

double m_d;

bool overflow;

void optim();

static bool gen;

};

bool CD::gen = false;

CD::CD( int hi, int lo )

{

if( !gen )

{

Generate_Prost();

gen = true;

}

overflow = false;

Set( hi, lo );

}

bool CD::Set( int hi, int lo )

{

overflow = false;

if( lo == 0 )

{

m_hi = 0;

m_lo = 1;

return false;

}

m_hi = hi;

if( m_hi == 0 ) m_lo = 1;

else

{

m_lo = lo;

optim();

}

return true;

}

bool CD::Set( double d )

{

overflow = true;

m_d = d;

return true;

}

bool CD::Set( AnsiString d )

{

int pos = 0;

if( pos = d.LastDelimiter("/") )

{

m_hi = StrToIntDef( d.SubString( 1, pos - 1 ), 0 );

m_lo = StrToIntDef( d.SubString( pos + 1, d.Length() ), 1 );

Set( m_hi, m_lo );

}

else if( pos = d.LastDelimiter(".,") )

{

Set( StrToFloat( d ) );

}

else

{

m_hi = StrToIntDef( d, 0 );

Set( m_hi, 1 );

}

optim();

// ShowMessage( "m_hi = " + AnsiString(m_hi) + "\nm_lo = " + m_lo );

return true;

}

bool CD::SetInv( AnsiString d )

{

int pos = 0;

if( pos = d.LastDelimiter("/") )

{

m_hi = -StrToIntDef( d.SubString( 1, pos - 1 ), 0 );

m_lo = StrToIntDef( d.SubString( pos + 1, d.Length() ), 1 );

Set( m_hi, m_lo );

}

else if( pos = d.LastDelimiter(".,") )

{

Set( -StrToFloat( d ) );

}

else

{

m_hi = -StrToIntDef( d, 0 );

Set( m_hi, 1 );

}

// ShowMessage( "m_hi = " + AnsiString(m_hi) + "\nm_lo = " + m_lo );

return true;

}

double CD::get_d() // возвращает десятичное значение

{

if( overflow ) return m_d;

if ( m_hi ) return float(m_hi)/m_lo;

else return 0;

}

AnsiString CD::get_a()

{

if( overflow ) return FloatToStrF( m_d, ffGeneral, 7, 0 );

if ( m_lo == 1 ) return AnsiString(m_hi);

else return AnsiString(m_hi) + "/" + AnsiString(m_lo);

}

AnsiString CD::get_s()

{

if( overflow )

{

if( m_d >= 0 ) return AnsiString( " + " ) + FloatToStrF( m_d, ffGeneral, 7, 0 );

else return AnsiString( " - " ) + FloatToStrF( -m_d, ffGeneral, 7, 0 );

}

if ( m_lo == 1 ) return (m_hi < 0)?AnsiString(" - ") + abs(m_hi):" + " + AnsiString(m_hi);

else return ((m_hi < 0)?AnsiString(" - ") + abs(m_hi):" + " + AnsiString(m_hi)) + "/" + AnsiString(m_lo);

}

CD CD::get_dr()

{

CD cd;

if( overflow )

{

cd.Set( m_d - floor(m_d) );

return cd;

}

ldiv_t r;

r = ldiv( m_hi, m_lo );

if( r.rem >= 0 )

{

cd.Set( r.rem, m_lo );

}

else

{

cd.Set( m_lo + r.rem, m_lo );

}

return cd;

}

int CD::get_cel()

{

int cd;

if( overflow )

{

cd = floor( m_d );

return cd;

}

if( m_hi >= 0 )

cd = ldiv( m_hi, m_lo ).quot;

else

cd = ldiv( m_hi, m_lo ).quot - 1;

return cd;

}

CD CD::get_abs()

{

CD cd;

if( overflow )

{

if( m_d >= 0 ) cd.Set( m_d );

else cd.Set( -m_d );

return cd;

}

if( m_hi < 0 ) cd.Set( -m_hi, m_lo );

else cd.Set( m_hi, m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator+(CD d)

{

CD cd;

if( overflow || d.overflow )

{

cd.Set( get_d() + d.get_d() );

return cd;

}

cd.Set( m_hi*d.m_lo + d.m_hi*m_lo, m_lo*d.m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator+(int num)

{

CD cd;

if( overflow )

{

cd.Set( get_d() + num );

return cd;

}

cd.Set( m_hi + num*m_lo, m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator-(CD d)

{

CD cd;

if( overflow || d.overflow )

{

cd.Set( get_d() - d.get_d() );

return cd;

}

cd.Set(m_hi*d.m_lo - d.m_hi*m_lo, m_lo*d.m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator-(int num)

{

CD cd;

if( overflow )

{

cd.Set( get_d() - num );

return cd;

}

cd.Set( m_hi - num*m_lo, m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator*(CD d)

{

CD cd;

if( overflow || d.overflow )

{

cd.Set( get_d() * d.get_d() );

return cd;

}

cd.Set( m_hi*d.m_hi, m_lo*d.m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator*(int num)

{

CD cd;

if( overflow )

{

cd.Set( get_d() * num );

return cd;

}

cd.Set( m_hi*num, m_lo );

return cd;

}

CD CD::operator/(CD d)

{

CD cd;

if( overflow || d.overflow )

{

cd.Set( get_d() / d.get_d() );

return cd;

}

cd.Set( m_hi*d.m_lo, m_lo*d.m_hi );

return cd;

}

CD CD::operator/(int num)

{

CD cd;

if( overflow )

{

cd.Set( get_d() / num );

return cd;

}

cd.Set( m_hi, m_lo*num );

return cd;

}

CD CD::operator=(CD d)

{

if( d.overflow)

{

Set( d.get_d() );

return *this;

}

Set( d.m_hi, d.m_lo );

return *this;

}

CD CD::operator=(int num)

{

Set( num, 1 );

return *this;

}

bool CD::operator==(CD d)

{

if( overflow || d.overflow )

{

return get_d() == d.get_d();

}

if( m_hi == d.m_hi )

if( m_lo == d.m_lo )

return true;

return false;

}

bool CD::operator==(int num)

{

if( overflow )

{

return get_d() == num;

}

if( m_hi == num )

if( m_lo == 1 )

return true;

return false;

}

bool CD::operator!=(CD d)

{

if( overflow || d.overflow )

{

return get_d() != d.get_d();

}

if( m_hi == d.m_hi )

if( m_lo == d.m_lo )

return false;

return true;

}

bool CD::operator!=(int num)

{

if( overflow )

{

return get_d() != num;

}

if( m_hi == num )

if( m_lo == 1 )

return false;

return true;

}

void CD::optim()

{

if( overflow ) return;

m_hi *= m_lo/abs(m_lo); // для знака

m_lo = abs(m_lo);

if( m_hi ) // далее сокращение дроби

{

int i = 0;

while(1)

{

while( ldiv( m_hi, mas[i] ).rem == 0 && ldiv( m_lo, mas[i] ).rem == 0 )

{

m_hi /= mas[i];

m_lo /= mas[i];

}

if( (mas[i + 1] > abs(m_hi) && mas[i + 1] > m_lo) || i + 1 > PR_COUNT - 1 ) break;

i++;

}

if( abs(m_hi) > mas[PR_COUNT - 1] || m_lo > mas[PR_COUNT - 1] )

{

overflow = true;

m_d = double(m_hi)/m_lo;

return;

}

}

}

void Generate_Prost()

{

bool is_prost;

float per;

int kol = 1;

mas[0] = 2;

int i = 3;

while(1)

{

is_prost = true;

for( int j = 0; j < kol; j++ )

if( ldiv( i, mas[j] ).rem == 0 )

{

is_prost = false;

break;

}

if( is_prost )

{

mas[kol] = i;

kol++;

}

if( kol >= PR_COUNT ) return;

i++;

}

/*

AnsiString p;

for( int i = 0; i < kol; i++ )

p = p + mas[i] + " ";

// ShowMessage( p );

//*/

}

#endif // CD_H

Приложение 2

Леонид Витальевич Канторович

Рис. 15 Портрет Л.В. Канторович

Леонид Витальевич Канторович вошел в плеяду крупнейших ученых двадцатого века благодаря своему капитальному вкладу в математику и экономику. Исследования Л.В. Канторовича в области функционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач, дескриптивной теории функций и теории множеств оказали влияние на становление и развитие указанных математических дисциплин, послужили основой для формирования новых научных направлений.

Л.В. Канторович по праву считается одним из основоположников современного экономико-математического направления, ядро которого составляют теория и модели линейных экстремальных задач. Это направление было затем переоткрыто и развито в трудах других ученых (прежде всего Дж. Данцига) и получило название линейное программирование. Идеи и методы этой дисциплины широко используются для постановки и решения разнообразных экстремальных и вариационных задач не только в экономике, но и в физике, химии, энергетике, геологии, биологии, механике и теории управления. Линейное программирование оказывает существенное влияние также на развитие вычислительной математики и вычислительной техники. Нам представляется, что никто другой не сделал так много для использования линейного программирования в экономической теории, как Л. В. Канторович.

В настоящее время многочисленные ученики и последователи Л. В. Канторовича успешно работают в различных областях современной математики и экономики, добиваясь значительных научных результатов. Выдающиеся заслуги Л. В. Канторовича были отмечены государством. Он награжден двумя орденами Ленина — в те годы наивысшими наградами страны, тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденами «Знак Почета» и Отечественной войны II степени, многими медалями.

Л.В. Канторович являлся членом ряда зарубежных академий и почетным доктором многих университетов, участвовал в работе международных научных обществ. С момента основания «Сибирского математического журнала» до своей кончины Леонид Витальевич Канторович входил в состав редколлегии, определяя научное лицо журнала в области прикладного функционального анализа и математической экономики.

До последних своих дней Леонид Витальевич был полон творческих планов и активно работал над их претворением в жизнь. Уже в последние месяцы своей жизни, находясь в больнице, он продиктовал свои автобиографические заметки «Мой путь в науке», опубликованные в «Успехах математических наук», и работал над статьей «Функциональный анализ (основные идеи)», опубликованной в СМЖ в 1987 г.

Леонид Витальевич всегда мечтал о внедрении новых математических методов в хозяйственную практику своей Родины и служил этой мечте до своей кончины 7 апреля 1986 г., невзирая на непонимание и откровенное противодействие ретроградов от науки и политики, управлявших страной. Л. В. Канторович похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище. Эти факты имеет смысл напомнить еще и потому, что после смерти Л. В. Канторовича в «Новом мире» (№ 12 за 1996 г.) были опубликованы выдумки о борьбе Л. В. Канторовича с идеей планирования в экономике и якобы имевшей место эмиграции в Америку еще в 70-е гг. Клевета настигла его и после смерти …

Научная школа Л. В. Канторовича, будь то в математике или в экономике, — это не только десятки непосредственных его учеников. Это и огромное число последователей, для которых работы Л. В. Канторовича и общение с ним определили характер научного мышления и деятельности на всю жизнь.

Для своих учеников и последователей Леонид Витальевич всегда был образцом честности, бескомпромиссности и твердости в науке, объективности и трудолюбия. Подкупающими чертами его личности были исключительная доброта, простота и легкость в общении, скромность и даже застенчивость. Он всегда с удовольствием работал с молодежью, и молодежь тянулась к нему.

Леонид Витальевич Канторович указал нам один из путей в будущее. Мы не сомневаемся, что этот путь выберут многие.