Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения

1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения

 

Пусть точка за время  переходит из положения М в положение М₁, двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4)  называется вектором перемеще-ния.  - средняя скорость.

Например, вектор  по хорде М М₁. если уменьшать промежуток времени , то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.

Рис. 1.4

 (1.6)

Направлен вектор скорости по касательной к траектории.

Определение ускорения:

Пусть в положении М скорость , а в положении М₁ (через время ) скорость . Приращение скорости (рис. 1.5).

Среднее ускорение:

Ускорение в данный момент

(1.7)

Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.

1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

 

при координатном способе задания движения:

 (а)

с другой стороны:

 (б)

Сравнивая (а) и (б) находим:

; ;  (1.8)

т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Величина скорости:

 (1.9)

направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).

 

 (1.10)

Аналогично ищем ускорения:

Сравнивая (в), (г), (д) находим:

 (1.11)

Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.

Величина ускорения:

 (1.12)

Направляющие косинусы:

; ; ; (1.13)

1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения

Пусть за время  точка переместилась из положения М в положение М₁, совершив перемещение (рис. 1.17).

 

величина скорости точки:

 (1.14)

Направлена скорость по касательной к траектории:

Найдем ускорение точки.

Пусть в положении М точка имеет скорость (рис. 1.8).

Полное ускорение точки будет:

Обозначим угол между касательными через  (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения  на касательную и нормам п.

 

Найдем эти пределы, учитывая, что при одновременно и  и .

где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.

Подставив эти значения в а_п получим:

Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:

(1.17)

(1.16)

(1.15)

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.

Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.