Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Курсовая работа

"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"

Введение

В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.

В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.

В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.

Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.

В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

 

Определение. Пусть  – подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой  для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число  – длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы  в  и обозначается через .

Определение. Пусть  – подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма. Если  субнормальна в , и  субнормальна в , то  субнормальна в .

 субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

 субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

то есть  субнормальна в  по определению. Лемма доказана.

Теорема. Если подгруппа  субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

 

Доказательство. Пусть  – дефект подгруппы  в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что  не нормальна в , следует, что .  не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что  – дефект подгруппы  в группе , так как в этом случае подгруппу  в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент  такой, что . Теперь имеем

Так как , то . С другой стороны,  и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение. Пусть  – субнормальная подгруппа дефекта  в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,…, .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема. Если  субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Доказательство. Пусть  – дефект подгруппы  в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .

все субнормальные -цепи длины  ( – второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…,  мы имеем

Таким образом, цепь

является субнормальной -цепью длины  и, следовательно, не имеет повторений. Так как  при любых  и , то теорема доказана.

Теорема. Если  субнормальна в  и  – подгруппа , то пересечение  есть субнормальная подгруппа .

Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит,  и . Тогда для любого , так как  и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие. Пусть  и  – подгруппы группы . Если  субнормальна в  и  – подгруппа , то  субнормальна в .

Доказательство. Пусть  и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь

что и требовалось.

Теорема. Пусть  субнормальна в  и  субнормальна в . Тогда пересечение  есть субнормальная подгруппа в.

Доказательство. Пусть  – наибольший из дефектов подгрупп  и  в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи

Положим , , ,…, . Из ,  следует, что  нормальна в . Следовательно, цепь

является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

Лемма. Если  субнормальна в , а  – нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство.  субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Следовательно, цепь

будет субнормальной.

Действительно, так как  и , то . Лемма доказана.

Лемма. Если подгруппы  и  субнормальны в  и , топроизведение  есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. Если  нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.

Предположим, что  не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если  и  субнормальны в  причем  и , то по индуктивному предположению  субнормальна в .

Пусть  – каноническая субнормальная -цепь. Так как  нормализует подгруппу , то для любого  цепь

будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит,  для любого , ,…,  (по определеделению).

Следовательно,  содержится в  для любого . Так как  и , то по индукции  субнормальна в . По следствию 1.7.1  субнормальна в . Так как  и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа  субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема. Если  и  – субнормальный подгруппы группы , то  есть также субнормальная подгруппа .

Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1  субнормальна в . Докажем, что  нормальна в . Предположим противное, то есть что  не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что ,  и . Так как  субнормальна в  и , то  субнормальна в . Получается следующая ситуация:  и  субнормальны в , . По лемме 1.10  субнормальна в . Ввиду выбора  отсюда следует , что противоречит .

Итак,  нормальна в , а значит,  и  нормализуют подгруппу . По лемме 1.10  и  субнормальны в . Так как  и , то ввиду выбора  получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.

Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы  образует подрешетку решетки .

Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.

Теорема. Пусть  – некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

1) если  и , то ;

2) если , , , , то .

Тогда  для любой подгруппы .

Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу  из . Если  не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если  не нормальна в , то найдется  такой, что , , . Тогда  и . Если  не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как  конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где  – некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие. Если  – непустой радикальный класс, то  содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Доказательство. Пусть  – множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что  удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

Следствие. Для любой субнормальной подгруппы  группы  справедливы следующие утверждения:

1) если  – -группа, то ;

2) если  нильпотентна, то ;

3) если  -нильпотентна, то ;

4) если  разрешима, то .

2. Минимальные не -группы

 

Лемма [3]. Пусть , где  – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа  монолитична с монолитом

2)  – -группа для некоторого простого ;

3)  – -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа  неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если  абелева, то она элементарна;

7) если , то  – экспонента ; при  экспонента  не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы  из  имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы  сопряжены в ;

10) если  и подгруппа  содержит , то  для любого полного локального экрана  формации ;

11) если  – -абнормальная максимальная подгруппа группы  и  – некоторый полный локальный экран , то  – минимальная не -группа и либо , либо .

Доказательство. 1) Пусть  – минимальная нормальная подгруппа из  такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак,  – минимальная нормальная подгруппа . Так как  – формация, то, нетрудно заметить, что  – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что  – главный -фактор. Покажем, что  – -группа. Предположим противное. Пусть простое число  делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где  – содержащаяся в  силовская -подгруппа из . Тогда

Отсюда и из насыщенности  получим . Но тогда , что невозможно.

Пусть  – главный фактор группы . Ввиду 2)  является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы  является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы  покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что  -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

Обозначим через  коммутант группы . Так как  – -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы  на участке от  до  -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности  заключаем, что . Так как

то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.

Докажем 7). Предположим, что  неабелева. Пусть  – произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

для всех элементов , из . Это означает, что  имеет экспоненту . Учитывая это и то, что  содержится в , получаем для любых , из  при :

Значит, отображение  является -эндоморфизмом группы . Так как

то  -гиперцентральна в . Вспоминая, что  – -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как  имеет экспоненту , то утверждение 7) при  доказано.

Пусть . Тогда

где . Рассматривая отображение  как и выше получаем, что . Значит  имеет экспоненту не больше 4.

Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в  найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем  для любой -абнормальной максимальной подгруппы  группы . Нетрудно показать, что .

По теореме 7.11 из [5],

Так как , то

Ввиду того, что  и  – главный фактор , имеем . Итак, . Пусть  – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

Не ограничивая общности, положим . Тогда  – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что  и . Но  – -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана  имеет место

то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы  принадлежит . Допустим, что . Тогда

и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е.  – минимальная не -группа.

Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где  и , где . Для всякого  через  обозначим подгруппу . Предположим, что все  отличны от . Так как , то  – дополнение к  в . Если  для всех различных  и , то

и поэтому . Противоречие. Значит  для некоторых различных  и . Из последнего вытекает

что невозможно. Полученное противоречие показывает, что  для некоторого  и, следовательно, . Лемма доказана.

Лемма [4]. Пусть  – наследственная локальная формация,  – такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда  равносильно .

Доказательство. Пусть . Тогда , и если  – произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и  принадлежит . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть  – произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть  – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация  наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то  вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть  – локальная наследственная формация,  – некоторый ее полный экран. Группа  принадлежит  тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) , где  – главный -фактор группы ,  – минимальная не -группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

Достаточность. Пусть  и  – произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если  -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

Следовательно,  и по лемме 2.1  – -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть  – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)  для любого  из ;

2)  тогда и только тогда, когда  для любого  из ,  – главный  фактор , .

Доказательство. 1) Пусть  – произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть  – подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как  – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5]  для любого  из . Если , то из того, что  следует . Получили противоречие. Итак,  – собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

2) Пусть . Покажем, что . Так как

то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть  – произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что  – -группа. Так как  и  – постоянный экран, то . Пусть  – произвольная собственная подгруппа из . Так как формация  наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что

есть главный -фактор группы .

Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть  – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда  – собственная подгруппа группы . Тогда

Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

Лемма. Пусть  – непустая наследственная формация. Тогда:

1) если  – подгруппа группы  и , то  -субнормальна в ;

2) если  -субнормальна в ,  – подгруппа группы , то  -субнормальна в ;

3) если  и  -субнормальные подгруппы , то  – -субнормальная подгруппа ;

4) если  -субнормальна в , а  -субнормальна в , то  -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы  принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы  является -субнормальной;

6) если  – -субнормальная подгруппа группы , то  -субнормальна в  для любых .

Лемма. Пусть  – непустая формация,  – подгруппа группы ,  – нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если  -субнормальна в , то  -субнормальна в  и  -субнормальна в ;

2) если , то  -субнормальна в  тогда и только тогда, когда  -субнормальна в .