Формации с решеточным свойством

3. Формации с решеточным свойством

 

Лемма [1]. Пусть  – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) группа  принадлежит , если ,  – -субнормальные -подгруппы группы ;

3)  – формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы  содержится в -радикале этой группы.

Установим, что из 1) следует 2).

Пусть  – контрпример минимального порядка. В этом случае , где  -субнормальная -подгруппа группы , , и  не принадлежит . Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора  имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация  является насыщенной. Поэтому группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и .

Если , то  – простая группа. Так как  и  – -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .

Пусть . Рассмотрим подгруппы  и . Так как  – собственная -субнормальная подгруппа  и , то нетрудно видеть, что  – собственная подгруппа , . Покажем, что .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть  – абелева группа. Тогда  – -группа,  – простое число. Так как  и подгруппа  -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .

2. Пусть  – неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа  -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа  -субнормальна в группе . Пусть

Ввиду леммы 2.5 подгруппа  -субнормальна в  для любого  из . Так как формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то  – -субнормальная подгруппа . Кроме того, из  следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как  нормальна в , то  нормальна в . Но

где  – неабелева простая группа и  для всех . Поэтому

Из  и наследственности формации  следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа  -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из  получаем что

Пусть  – добавление к подгруппе  в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации  из

и

получаем, что . Итак, ,  и .

Используя тождество Дедекинда, имеем

Если предположить, что , то . В этом случае

Так как , то  не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

Так как подгруппа  -субнормальна в группе  и , то из наследственности формации  следует, что подгруппа  -субнормальна в .

Так как формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то  – -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из  и наследственности формации  имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в  подгруппы .

Пусть . Из , нормальности  в  и нормальности  в  следует, что  нормальна в .

Так как

то

Таким образом получаем

Так как , то  – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в  подгрупп  и  следует, что подгруппа

-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где  – нормальная -подгруппа группы , . Так как

и , то . Из наследственности формации  получаем, что подгруппа  -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа  теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

Следовательно,  – формация Фиттинга.

Пусть  – -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа  -субнормальна в  для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

Отсюда следует, что

Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть  и  – -субнормальные подгруппы группы  и . Если  – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что  – -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа  -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа  -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.

Будем далее считать, что  для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3  субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

Это означает, что . Противоречие. Значит  и . Аналогично доказывается, что . Итак,  и .

По условию леммы  – формация Фиттинга и , . Следовательно,

Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

Из наследственности формации  следует, что  – -субнормальная подгруппа группы .

Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп  и  группы  -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5  – также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть  – наследственная локальная формация. Если  замкнута относительно расширений, то формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации  и  обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть  обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть  – некоторое семейство классов групп. Обозначим через  класс всех групп , представимых в виде

где  и , .

Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

1) пусть  – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) пусть  – некоторое семейство наследственных локальных формаций и  для любых . Тогда и только тогда формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого  формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1  и  – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что  также является формацией Фиттинга.

Пусть  – -субнормальная подгруппа группы  и . Ясно, что подгруппа  -субнормальна в  для любого . Так как  и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что  и . Следовательно,

Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

Докажем утверждение 2). Пусть формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация  обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

Обратно, пусть для любого  формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

Индукцией по порядку группы  покажем, что любая группа , где ,  – -субнормальные -подгруппы группы  принадлежат .

Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как  – насыщенная формация, то  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и . Ясно, что

Отметим также, что

где  – изоморфные простые группы для .

Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа  -субнормальна в , то . Тогда по индукции

Рассмотрим пересечение . Если

то

Отсюда и из того факта, что  – нормальная подгруппа  и  следует, что .

Пусть . Так как  – нормальная подгруппа из , то  – нормальная подгруппа из . А это значит, что

Из наследственности формации  и  получаем, что . Но тогда .

Из строения  и

для любых , следует, что  для некоторого . Так как

то нетрудно видеть, что группа  имеeт -холловскую подгруппу .

Так как , то  – -субнормальная подгруппа группы . Так как ,  и ,  – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

Отсюда и из  ввиду  получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

Отсюда и из -субнормальности  и  в  нетрудно заметить, что ,  – -субнормальные подгруппы группы . Из  и  ввиду наследственности  следует, что  и . Так как по условию формация  обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

Итак,  содержит некоторую группу , где ,  – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть  – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то  имеет вид

где  для любых  из ;

2) если  – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что  является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что  и .

Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы ,  ( – простое число), а  – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что  – циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в  найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы  и . Рассмотрим в  подгруппу , . Ясно, что  -субнормальна в , . Из ,  и  по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

Следовательно,  – циклическая группа порядка , где  – некоторое простое число, ,  – натуральное число. Допустим, что . Обозначим через  – регулярное сплетение циклических групп  и  соответственно порядков  и .

По теореме 6.2.8 из [2]  изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как  и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где  – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

следует что .

Рассмотрим в  подгруппы  и , где  – база сплетения . Ясно, что  -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

Так как , то  по лемме 3.1. Получили противоречие.

Следовательно,  и  – группа Шмидта. Если  и , то по лемме 1.1.6  также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12  является наследственной формацией.

Покажем, что формация  имеет такой локальный экран , что

p(F)p'(F)p(F) Действительно. Пусть  – локальный экран формации . Так как  для любого простого числа  из , то . Покажем обратное.

Пусть  – группа минимального порядка из . Так как  – наследственная формация и  – насыщенная формация, то  – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

где  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем  – -группа, , а  – минимальная не -группа. Как показано выше  является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть  – группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

Пусть  – группа Шмидта. Тогда  – группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .

Итак,  и  – полный локальный экран формации .

Покажем, что  либо  для любых простых , .

Вначале докажем, что из  следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль  над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу . Так как  и  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль  над полем . Рассмотрим группу

Так как

то . Ясно, что . Так как , то найдется  такой, что . Заметим, что . Тогда

Так как , то  -субнормальна в  и  -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль  над полем .

Группа  принадлежит  ввиду  и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа  формации  не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что  для некоторого , причем подгруппы ,  -субнормальны в , причем ,  принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

Следовательно, если , то , а значит . Более того, если

где  и , то  и , а значит, .

Таким образом, множество  можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где  для любых  из  и  для . Покажем, что

Обозначим

Так как для любого  имеет место , то включение  очевидно.

Допустим, что множество  непусто, и выберем в нем группу  наименьшего порядка. Так как  – наследственная формация, то . Группа  непримарна в силу равенства  и локальности формации . Из строения

и  нетрудно показать, что  – группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где  – элементарная абелева -группа,  – некоторые простые числа. Так как , то

Как показано выше,  для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,

где  для всех .

Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация  тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда

Заключение

В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.

В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.

Список использованных источников

1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.

2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.

3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.

4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.

5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.

6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.

7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.

8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.

9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.

10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.