Системи випадкових величин

СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

(реферат)

Вступ

 

N-вимірний вектор  (t-індекс транспонування) називається випадковим, якщо його координати є випадковими величинами. Вектор  називають дискретним, якщо його координати - дискретні випадкові величини, неперервним, якщо його компоненти - неперервні випадкові величини і змішаним, якщо частина його компонент – дискретні випадкові величини, а інша частина – неперервні випадкові величини. Випадкові N-вимірні вектори називають ще системою N випадкових величин або багатовимірними випадковими величинами. В подальшому розглядаються двовимірні випадкові вектори (системи двох випадкових величин), які позначаються .

1. Розподіли системи двох випадкових величин

Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею

y₁ y₂ … y_m

, (1.1)

().

Стовпчики матриці відповідають значенням  випадкової величини Y , а рядки – значенням  випадкової величини X. Події  утворюють повну групу подій, тому сума елементів матриці  дорівнює 1:

.

Розподіли

,

називають розподілами компонент системи двох випадкових величин . Події , ,...,  є несумісними, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій сума елементів і-рядка матриці  дорівнює ймовірності значення :

.(1.1а)

Аналогічно, сума елементів j-стовпчика дорівнює ймовірності значення :

.(1.1b)

 

Приклад 1.1. Система двох випадкових величин  задана сумісним розподілом

y₁ y₂

Знайти розподіли компонент системи випадкових величин.

Розв’язування. За формулами (1.1а) та (1.1b)

;

;

;

; .

Отже, розподіли компонент

.

Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу

, (1.2)

яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення менше ніж x, а  - менше ніж y. Геометрична інтерпретація інтегральної функції сумісного розподілу полягає в тому, що вона визначає ймовірність попадання випадкової точки  у нескінченний заштрихований квадрат із вершиною в точці  (рис 1.1).

Інтегральна функція розподілу випадкового вектора  має такі очевидні властивості.

Властивість 1.

 

.

Властивість 2. Функція  неспадна по кожному аргументу

, якщо ;

, якщо .

Властивість 3. Мають місце граничні співвідношення

, , , .

Властивість Для функція  мають місце ще і такі граничні співвідношення

,

,

 - інтегральна функція розподілу компоненти X випадкового вектора .

 - інтегральна функції розподілу компоненти Y випадкового вектора .

З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу  та (рис 1.2)

, (1.3а)

.(1.3б)

Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.

Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу  дорівнює різниці ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною  ()і ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною (. Звідси і слідує рівність (1.3а)

Імовірність попадання випадкової точки у прямокутник утворений прямими

(рис.1.3) обчислюється за формулою

(1.4)

 

Доведення. Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різниці ймовірності попадання точки у напівсмугу  ()і ймовірності попадання у напівсмугу (). Звідси і слідує рівність (1.3а)

Приклад 1.2. Знайти ймовірність пападання випадкової точки  у прямокутник обмеженний прямими , , , , якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

Розв’язування. За формулою (1.4) в якій , , ,

Система двох неперервних випадкових величин  однозначно визначається густиною сумісного розподілу ймовірностей

. (1.5)

Приклад 1.3. Знайти густину сумісного розподілу системи випадкових величин, якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

Розв’язування. За формулою (1.5)

Інтегральна функція сумісного розподілу неспадна по кожному аргументу і тому

.

За відомою густиною сумісного розподілу інтегральну функцію сумісного розподілу можна визначити за формулою

(1.6)

Приклад 1. Знайти інтегральну функцію сумісного розподілу системи випадкових величин, якщо відома густина сумісного розподілу

.

Розв’язування. За формулою (1.6)

.

Враховуючи , що  (властивість 3), для густини сумісного розподілу  можна записати рівність нормування

.

Ймовірність попадання випадкової точки  у довільну область (рис.1.3) обчислюється за формулою

,(1.7)

яка одразу слідує з означення подвійного інтеграла

Приклад 1.5. Система випадкових величин  задана густиною сумісного розподілу

.

Знайти ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник з вершинами , ,,.

Розв’язування. За формулою (1.7)

.

.

Функції

,(1.8a)

.(1.8b)

є інтегральними функціями розподілу компонент системи двох неперервних величин .

Приклад 1.6. Система випадкових величин  задана густиною сумісного розподілу

.

Знайти інтегральні функції компонент.

Розв’язування. За формулою (1.8а)

.

За формулою (1.8б)

.

За відомою густиною сумісного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин можна обчислити густину розподілу кожної її компоненти:

 (1.9a)

(1.9b)

Доведення. З означення густини розподілу компоненти та з врахуванням (1.8a)

.

Аналогічно для другої компоненти:

Приклад 1.7. Двовимірний вектор  задан густиною сумісного розподілу

Знайти густини розподілів компонент X та Y.

Розв’язування. За формулою (1.9а) при

,

і при . Отже,

 

За формулою (1.9b) при

,

і при . Отже,

 

Дискретні випадкові двовимірні вектори однозначно визначаються також умовними розподілами компонент X,Y:

,

 - умовна ймовірність події  за умови того, що подія  вже настала,

 - умовна ймовірність події  за умови, що подія  вже настала.

За теоремою множення ймовірностей залежних подій

,(1.10а)

(),

, (1.10b)

().

Приклад 1.8. Необхідно обчислити умовні розподіли компоненти X системи випадкових подій  із сумісним розподілом

y₁ y₂

при .

Розв’язування. Імовірність події () за формулою (1.1b).

За формулою (1.10а)

 

,

,

.

Умовний розподіл компоненти X при

 

 

Імовірність події () за формулою (1.1b).

.

За формулою (1.10а)

 

,

,

.

Умовний розподіл компоненти X при

 

.

 

Імовірність події () за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

 

,

.

Умовний розподіл компоненти Y при

 

.

 

Імовірність події () за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

 

,

.

Умовний розподіл компоненти Y при

 

Імовірність події () за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

,

.

Умовний розподіл компоненти Y при

 

.

Умовні густини розподілу компонент системи двох неперервних випадкових величин  визначаються рівностями

,(1.11a)

,(1.11b)

 - умовна густина розподілу ймовірності компоненти X при фіксованому значенню ,  - умовна густина розподілу ймовірності компоненти Y при фіксованому значенню .

Приклад 1.9. Двовимірний вектор  заданий густиною сумісного розподілу

.

Знайти умовні розподіли компонент X та Y.

Розв’язування. в крузі радіуса r і тому за формулою (1.11a)

при  і

 при .

У підсумку

Аналогічно за формулою (1.11b)

Як і будь-які інші густини розподілу, умовні ймовірності мають такі властивості

,

 .

Дві випадкові величини є незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від значення іншої. Умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх розподілам:

для неперервних величин і

 .

для дискретних випадкових величин.

Необхідною та достатньою умовою незалежності випадкових величин є

,(1.12а)

або, як наслідок,

.(1.12b)