Методы приближённого решения матричных игр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Методы приближённого решения матричных игр

Выполнила студентка V курса

математического факультета

Ветошкина Е. Н.

______________ /подпись/

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент, Ковязина Е. М.

______________ /подпись/

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, Караулов В.М.

______________ /подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой __________________ Вечтомов Е. М.

 «___» __________ 2003 г.

Декан факультета _______________ Варанкина В. И.

«___» __________ 2003 г.

Киров

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………3

§1. Основные понятия………………………………………………………5

§2. Итеративный метод Брауна-Робинсона……………………………...10

§3. Монотонный итеративный алгоритм решения матричных игр…16

Приложение………………………………………………………………….21 Список литературы…………………………………………………………24

Введение

«Теория игр – раздел математики, предметом которого является изучение математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта...». [17]

Математическая теория игр способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход. Матричные игры серьёзно изучаются специалистами, так как они довольно просты и к ним могут быть сведены игры общего вида. Поэтому теория матричных игр хорошо развита, существуют различные методы поиска решения игр.

Но в большинстве случаев решение матричных игр представляет собой трудный и громоздкий процесс. Есть примеры, когда даже для матриц размера 3´3, процесс поиска решения довольно трудоёмкий.

Кроме того, выигрыши игроков в каждой ситуации не всегда определяются точными измерениями. В процессе сбора данных об изучаемом явлении, анализа этих данных и введения при построении модели различных предположений накапливаются ошибки. Они же могут выражаться числами в матрице выигрышей. Поэтому точность в определении значения игры и оптимальных стратегий игроков оправдана не всегда.

А также, следует заметить, что погрешность в оценке игроком своего выигрыша не может привести к практически серьёзным последствиям и небольшое отклонение игрока от оптимальной стратегии не влечёт за собой существенного изменения в его выигрыше.

Поэтому возникает потребность в разработке численных методов решения матричных игр. В настоящее время в теории игр известны несколько способов приближенного решения матричных игр.

Цель выпускной квалификационной работы изучить некоторые методы приближённого решения матричных игр, обосновать их алгоритмы, и, по возможности, реализовать на языке программирования.

Работа состоит из введения, трёх параграфов и приложения, в котором приведена программа на языке Turbo Pascal, позволяющая находить приближённое решение матричной игры.

В первом параграфе приведены основные понятия и утверждения теории матричных игр.

Параграф второй посвящён изложению приближённого решения игры методом Брауна-Робинсона (метод фиктивного разыгрывания) и его обоснованию. Приведён пример применения алгоритма для конкретной матричной игры.

В третьем параграфе рассмотрен ещё один метод – монотонный итеративный алгоритм приближённого решения матричных игр.

§1. Основные понятия

Будем рассматривать только парные антагонистические игры, т. е. игры в которых участвуют только два игрока – две противоборствующие стороны и выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Кроме того, будем считать, что каждый игрок имеет лишь конечное число стратегий:

U₁={a₁, a₂,..., a_m} – множество стратегий первого игрока;

U₂={b₁, b₂, ... b_n} – множество стратегий второго игрока.

Будем называть эти стратегии чистыми в отличие от смешанных, которые будут введены далее.

Множество U₁×U₂ – декартово произведение множеств стратегий игроков называется множеством ситуаций в игре. Для каждой ситуации должен быть определён итог игры. Так как игра антагонистическая достаточно определить выигрыш а одного из игроков, скажем первого. Тогда выигрыш второго игрока будет равен (-а). Таким образом, имеем матрицу выигрышей первого игрока ( для второго игрока матрица выигрышей будет -А):

A=

Определение. Система Г={U₁, U₂, A} называется матричной игрой двух лиц.

Разыгрывание матричной игры сводится к выбору игроком 1 i-ой строчки матрицы выигрышей, а игроком 2 - j-го столбца. После этого игрок 1 получает выигрыш равный а_ij, а игрок 2 – (-а_ij).

При правильной игре игрок 1 может всегда гарантировать себе выигрыш, который назовём нижним значением цены игры. Обозначим его:  .

В свою очередь, игрок 2 может гарантировать себе проигрыш, который назовём верхним значением цены игры. Обозначим его:

.

Чистые стратегии i^* и j^*, соответствующие  называются максиминной и минимаксной стратегиями.

Лемма 1. В матричной игре . [17]

Определение. Ситуация (i^*, j^*) называется ситуацией равновесия, если для iÎ1,2,…,m, jÎ1,2,…,n выполняется неравенство:

.

Ситуация равновесия это такая ситуация, от которой ни одному из игроков не выгодно отклоняться. В этом случае стратегии i^*, j^* называют оптимальными стратегиями игроков.

Чтобы такая ситуация существовала необходимо и достаточно равенство верхней и нижней цен игры, т. е. .[17]

Определение. Пусть(i^*, j^*) - ситуацией равновесия в матричной игре. Тогда число  называется значением или ценой игры.

Например, в игре Г_А с матрицей А= существует не одна ситуация равновесия. В данной игре их две: (1, 1) и (1, 3).

Множество всех ситуаций равновесия в матричной игре обозначим через Z(Г).

Лемма о масштабе 1. Пусть Г и Г^/ - две матричные игры с матрицей выигрышей А={a_ij} и A^/={a^/_ij}, причём А^/=bА+ a, b=const, a=const.

Тогда Z(Г)=Z(Г^/) и n^/= bn+a (где n^/ - значение цены игры Г^/, n - значение цены игры Г). [17]

Эта лемма имеет большое практическое значение, так как большинство алгоритмов для решения матричных игр основано на предположении, что матрица игры положительна. В случае, когда матрица имеет неположительные элементы, следует прибавить ко всем элементам матрицы число наибольшее по абсолютной величине, из всех отрицательных элементов.

Существуют игры, в которых ситуации равновесия в чистых стратегиях не существует. Тогда игрокам бывает не выгодно придерживаться своих минимаксных и максиминных стратегий, так как они могут получить больший выигрыш, отклонившись от них. В этом случае игрокам разумно действовать случайно, т. е. выбирать стратегии произвольно и не сообщать о выборе сопернику. Такие стратегии игроков будем называть смешанными.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Так если игрок 1 имеет m чистых стратегий, то его смешанная стратегия x – это набор чисел x=(x₁,x₂,…,x_m), которые удовлетворяют соотношениям , =1. Аналогичным образом определяется смешанная стратегия y игрока 2.

Определение. Оптимальными стратегиями игроков называются стратегии, которые при многократном повторении обеспечивают игрокам максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).

Таким образом, процесс игры при использовании игроками своих смешанных стратегий превращается в случайное испытание, которое назовём ситуацией в смешанных стратегиях. Она обозначается так (x, y), где x и y – смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно.

Для ситуации в смешанных стратегиях каждый игрок определяет для себя средний выигрыш, который выражается в виде математического ожидания его выигрышей:.

От матричной игры пришли к новой игре ={X, Y, K}, где X, Y – множества смешанных стратегий игроков, а K – функция выигрышей в смешанных стратегиях. Такую игру называют смешанным расширением матричной игры.

 Цели игроков остаются прежними: игрок 1 желает получить максимальный выигрыш, а игрок 2 стремится свести свой проигрыш к минимуму. Поэтому для смешанного расширения игры, аналогичным образом определяются верхнее и нижнее значение цены игры, только теперь игроки выбирают свои смешанные стратегии. Обозначим их:

 В этом случае остаётся справедливой лемма 1, т. е. .

Определение. Ситуация (x^*, y^*) в игре образует ситуацию равновесия, если для всех x ÎX, yÎY выполняется равенство:

K(x, y^*)≤K(x^*,y^*)≤K(x^*,y).

Чтобы ситуация равновесия в смешанном расширении игры существовала необходимо и достаточно равенство верхней и нижней цен игры, т. е. , где n - цена игры.

Для случая смешанного расширения игры также справедлива лемма о масштабе.

Лемма о масштабе 2.

Пусть Г_А и Г_А^/ - две матричные игры А^/=aА+ В, , a=const, В – матрица с одинаковыми элементами b, т. е. b _ij=b для всех i, j.

Тогда Z()=Z(Г_А^/) и n_А^/= an_А+b (где n_А^/ - значение цены игры Г_А^/, n_А - значение цены игры Г_А). [17]

Теорема. В смешанном расширении матричной игры всегда существует ситуация равновесия. [17]

§2. Итеративный метод Брауна-Робинсона (метод фиктивного разыгрывания)

Часто в практических задачах нет необходимости находить точное решение матричной игры. Достаточно найти приближённое решение, которое даёт средний выигрыш, близкий к цене игры и приближённые оптимальные стратегии игроков.

Ориентировочное значение цены игры может дать уже простой анализ матрицы выигрышей и определение нижней и верхней цен игры. Если они близки, то поисками точного решения заниматься не обязательно, так как достаточно выбрать чистые минимаксные стратегии. Если же они не близки, можно получить приемлемое для практики решение с помощью численных методов решения игр, из которых рассмотрим метод итераций.

Пусть разыгрывается матричная игра Г_А с матрицей А={a_ij} размера (m´n). Идея метода – многократное фиктивное разыгрывание игры с заданной матрицей. Одно разыгрывание игры будем называть партией, число которых неограниченно.

В 1-ой партии оба игрока выбирают совершенно произвольные чистые стратегии. Пусть игрок 1 выбрал i-ю стратегию, а игрок 2 – j-ю стратегию. Во второй партии игрок 1 отвечает на ход игрока 2 той своей стратегией, которая даёт ему максимальный выигрыш. В свою очередь, игрок 2, отвечает на этот ход игрока 1 своей стратегией, которая обращает его проигрыш в минимум. Далее третья партия.

С ростом числа шагов процесса смешанные стратегии, которые приписываются игрокам, приближаются к их оптимальным стратегиям. Этот процесс приближённого нахождения оптимальных стратегий игроков называется итеративным , а его шаги – итерациями.

Итак, предположим, что за первые k разыгрываний игрок 1 использовал i-ю чистую стратегию _i^kраз (i=1,…,m), а игрок 2 j-ю чистую стратегию  раз (j=1,…,n). Тогда их смешанными стратегиями будут векторы .

 Игрок 1 следит за действиями игрока 2 и с каждым своим ходом желает получить как можно больший выигрыш. Поэтому в ответ на применение игроком 2 своей смешанной стратегии y^k, он будет использовать чистую стратегию i_k+1 , которая обеспечит ему лучший результат при разыгрывании (k+1)-ой партии. Игрок 2 поступает аналогично. В худшем случае каждый из них может получить:

где  - наибольшее значение проигрыша игрока 2 и  - наименьшее значение выигрыша игрока 1.

Рассмотрим отношения, которые определяют средние значения проигрыша игрока 2 и выигрыша игрока 1:

Пусть ν - цена матричной игры Г_А. Её значение будет больше выигрыша игрока 1, но меньше проигрыша игрока 2, т. е.

. (1)

Таким образом, получен итеративный процесс, позволяющий находить приближённое решение матричной игры, при этом степень близости приближения к истинному значению игры определяется длиной интервала

.

Сходимость алгоритма гарантируется следующей теоремой.

Теорема. .

Схема доказательства.

Лемма. Для всякой матрицы А и "e>0 существует такое k₀, что

.

При предельном переходе в неравенстве (1) при k®¥ имеем:

. (2)

Отсюда получаем оценку разности пределов:

.

Из леммы следует, что

.

На основании неравенства (1) имеем: .

Следовательно, в силу ограниченности пределов

.

 Получаем оценку для разности пределов:

 для "e>0.

Можем заключить, что . Осталось показать равенство пределов n. Это следует из неравенства (2).

Итак, .

Пример. Найти приближённое решение игры с матрицей

А=.

Пусть игру начнёт игрок 2. Он произвольно выбирает одну из своих чистых стратегий. Предположим, что он выбрал свою 1-ю стратегию, а игрок 1 отвечает своей 2-й стратегией. Занесём данные в таблицу.

но-мер пар тии	стратегия второго игрока	выигрыш игрока 1 при его стратегиях			стратегия первого игрока	проигрыш игрока 2 при его стратегиях			u	w	n
		1	2	3		1	2	3
1	1	0	4	2	2	4	1	2	4	1	5/2

В столбце u находится наибольший средний выигрыш 4 игрока 1, полученный им в первой партии; в столбце w стоит наименьший средний проигрыш 1, полученный игроком 2 в первой партии; в столбце n находится среднее арифметическое n=(u+w)/2=5/2, т. е. приближенное значение цены игры, полученное в результате проигрывания одной партии.

Так как игрок 1 выбрал 2-ю стратегию, то игрок 2 может проиграть:

4, если применит свою 1-ю стратегию;

1, если применит свою 2-ю стратегию;

2, если применит свою 3-ю стратегию.

Поскольку он желает проиграть как можно меньше, то в ответ применит свою 2-ю стратегию.

Тогда первый игрок получит выигрыш равный 3, 1, 0 соответственно при своих 1-й, 2-й, 3-й стратегиях, а его суммарный выигрыш за две партии составит:

0+3=3 при его 1-й стратегии;

4+1=5 при его 2-й стратегии;

2+0=2 при его 3-й стратегии.

Из всех суммарных выигрышей наибольшим является 5, который получается при 2-й стратегии игрока 1. Значит, в этой партии он должен выбрать именно эту стратегию.

При 1-й стратегии игрока 1 игрок 2 проигрывает 4, 1, 2 соответственно 1-й, 2-й, 3-й его стратегиям, а суммарный проигрыш за обе партии составит:

4+4=8 при его 1-й стратегии;

1+1=2 при его 2-й стратегии;

2+2=4 при его 3-й стратегии.

Все полученные данные занесём в таблицу. В столбец u ставится наибольший суммарный выигрыш игрока 1 за две партии, деленный на число партий, т. е. 5/2; в столбец w ставится наименьший суммарный проигрыш игрока 2, деленный на число партий, т. е. 2/2; в столбец n ставится среднее арифметическое этих значений, т. е. 7/2.

но-мер пар тии	стратегия второго игрока	выигрыш игрока 1 при его стратегиях			стратегия первого игрока	проигрыш игрока 2 при его стратегиях			u	w	n
		1	2	3		1	2	3
1 2	1 2	0 3	4 5	2 2	2 2	4 8	1 2	2 4	4 5/2	1 2/2	5/2  7/2

В третьей партии игрок 2 выбирает свою 2-ю стратегию, так как из всех суммарных проигрышей наименьшим является 2.

 Таким образом, продолжая этот процесс далее, составим таблицу разыгрываний игры за 20 итераций (партий).

но-мер пар тии	Страте- гия второго игрока	выигрыш игрока 1 при его стратегиях			Страте- гия первого игрока	проигрыш игрока 2 при его стратегиях			u	w	n
		1	2	3		1	2	3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	1 2 2 2 3 3 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3	0 3 6 9 10 11 11 12 13 14 15 16 19 22 25 28 31 34 37 38	4 5 6 7 9 11 15 17 19 21 23 25 26 27 27 29 30 31 32 34	2 2 2 2 5 8 10 13 16 19 22 25 25 25 25 25 25 25 25 28	2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1	4 8 8 8 8 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 48 48 48 48	1 2 5 8 11 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 30 33 36	2 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 29 30 31 32	4 5/2 6/3 9/4 10/5 11/6 15/7 17/8 19/9 21/10 23/11 25/12 26/13 27/14 27/15 29/16 31/17 34/18 37/19 38/20	1 2/2 5/3 6/4 7/5 8/6 10/7 12/8 14/9 16/10 18/11 20/12 21/13 22/14 23/15 24/16 27/17 30/18 31/19 32/20	5/2 7/2 11/6 15/8 17/10 19/12 25/14 27/16 33/18 37/20 41/22 45/24 47/26 49/28 50/30 53/32 58/34 64/36 68/38 70/40

Из таблицы видно, что в 20-ти проигранных партиях стратегии 1, 2, 3 для второго игрока встречаются соответственно 2, 10, 8 раз, следовательно, их относительные частоты равны 2/20, 10/20, 8/20. Стратегии 1, 2, 3 для игрока 1 встречаются соответственно 8, 12, 0 раз, следовательно, их относительные частоты равны 8/20, 12/20, 0, а приближённое значение цены игры равно 70/40.

Таким образом, получили приближённое решение игры: x²⁰=(1/10, 1/2, 2/5), y²⁰=(2/5, 3/5, 0), n=1,57.

Такой итеративный процесс ведёт игроков к цели медленно. Часто для получения оптимальных стратегий, дающих игрокам выигрыш, приходится проделывать сотни итераций. При этом скорость сходимости заметно ухудшается с ростом размерности матрицы и ростом числа стратегий игроков. Это также является следствием не монотонности последовательностей и . Поэтому, практическая ценность этого метода имеет место, когда вычисления проводятся на достаточно быстродействующих вычислительных машинах. Но наряду с таким недостатком можно выделить и достоинства метода итераций: