Этот метод даёт возможность найти ориентировочное значение цены игры и приближённо вычислить оптимальные стратегии игроков

1.   Этот метод даёт возможность найти ориентировочное значение цены игры и приближённо вычислить оптимальные стратегии игроков.

2.   Сложность и объём вычислений сравнительно слабо возрастают по мере увеличения числа стратегий игроков (m и n).

Для рассмотренного алгоритма приведена реализация на языке Pascal (см. приложение).

§3. Монотонный итеративный алгоритм решения матричных игр

Предлагаемый для рассмотрения алгоритм реализуется только для одного игрока в отличие от первого, который работает для двух игроков. Алгоритм позволяет находить точно и приближенно оптимальную стратегию игрока 1 и значение цены игры n. С помощью алгоритма можно получить заданную точность решения, причём число шагов, необходимых для достижения результатов, слабо зависит от размерности матрицы выигрышей.

Особенность этого алгоритма в способности генерировать строго монотонно возрастающую последовательность оценок цены игры, что не свойственно ранее предлагаемому алгоритму.

Рассмотрим смешанное расширение =(X,Y,K) матричной игры Г_А с матрицей А размера (m´n). Процесс разыгрывания игры состоит из нескольких шагов. Пусть каждый из игроков имеет конечное число стратегий.

 Введём следующие обозначения:

 а_i – i-я строка матрицы выигрышей;

 x^N=(x₁^N,x₂^N,…,x_m^N) ÎX – m-мерный вектор, приближение оптимальной стратеги первого игрока на N-шаге (N-номер шага);

c^N=() –n-мерный вектор, определяющий средний накопленный выигрыш на N-шаге.

Зададим начальные условия. Пусть на 0-шаге с⁰=, x⁰=(0,…, 1,…, 0), где 1 занимает i₀-ю позицию.

Определим итеративный процесс следующим образом: по известным векторам x^N-1, c^N-1 находим векторы  x^N и c^N , которые вычисляются по следующим формулам:

где параметр 0£e_N£1, а векторы   вводятся далее.

Как отмечалось, вектор с^N определяет средний накопленный выигрыш игрока 1 на N шаге. Компоненты этого вектора – это числа. В худшем случае игрок 1 может получить минимальное из этих чисел. Примем его за нижнюю оценку цену игры, которую обозначим:

. (4)

Запомним множество индексов J^N-1=(), (k<n), на которых  будет достигается этот минимум, т. е.

.

Далее рассмотрим подыгру Г^N игрыГ_А с матрицей выигрышей А^N={}, i=1,…,m, j^N-1ÎJ^N-1. Матрица выигрышей состоит из столбцов данной матрицы, номера которых определяются множеством индексов J^N-1. В этой подыгре Г^N находим одну из оптимальных смешанных стратегий игрока 1: .

После нахождения , находим вектор  по правилу:

.

И рассмотрим игру (2´n), в которой у игрока 1 две чистые стратегии, а у игрока 2 – n чистых стратегий. Эта игра задаётся матрицей , решая которую, находим вероятность использования игроком 1 своей стратегии. Это даёт нам коэффициент e_N.

Далее вычисляем x^N, с^N и переходим к следующему шагу. Процесс продолжаем до тех пор, пока не выполнится равенство e_N=0, потому что по теореме о минимаксе , а их равенство (что и нужно) достигается в этом случае, или пока не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Сходимость алгоритма гарантируется теоремой.

Теорема. Пусть {x^N}, {n^N} – последовательности, определяемые равенствами (3), (4) . Тогда справедливы следующие утверждения:

1.    т. е. последовательность {n^N-1} строго монотонно возрастает.

2.  

3. , где x^*ÎX* – оптимальная стратегия игрока 1.

Доказательства этой теоремы достаточно рутинно. Его можно посмотреть в [15].

Рассмотрим применение этого алгоритма к решению конкретной задачи.

Пример. Решить игру с матрицей А=.

Итерация 0. 1. Пусть игрок 1 выбрал свою 1-ю стратегию, т. е. А⁰=[0, 1, 2]. Тогда за начальные условия примем следующие: x⁰=(1, 0, 0) – приближение оптимальной стратегии игрока 1; c⁰=a₁=(0, 1, 2) – возможный выигрыш игрока 1.

Найдём множество индексов , на которых игрок 1 может получить, в худшем случае, наименьший выигрыш: , значит множество индексов J⁰={1}. Для этого индекса выигрыш равен 0. Это есть значение нижней оценки цены игры, т. е. .

2. На этом шаге определим, пользуясь начальными значениями, компоненты векторов . Для этого рассмотрим подыгру . Для этой подыгры оптимальной стратегией игрока 1 будет его 2-ая стратегия, так как она принесёт ему наибольший выигрыш.

Обозначим её через : =(0, 1, 0). Зная , можем вычислить =0а₁+1а₂+0а₃=а₂=(4, 2, 1).

3. Найдём e₁. Для этого рассмотрим подыгру (2´3) с матрицей . Решая матрицу графическим способом, получаем, что e₁=1/2.

4. Проведённые вычисления позволяют найти значения векторов x¹, c¹:

x¹=1/2x⁰+1/2 =1/2(1, 0, 0)+1/2(0, 1, 0)=(1/2, 1/2, 0);

c¹=1/2c⁰+1/2 =1/2(0, 1, 2)+1/2(4, 2, 1)=(2, 3/2, 3/2).

Итерация 1. Так как e₁ не равно 0, то процесс продолжается дальше. Теперь за начальные условия примем найденные значения векторов x¹, c¹. С их помощью вычисляем , которые с большей точностью будут близки к истинным оптимальным стратегиям игрока 1.

1. Итак, пусть x¹=(1/2, 1/2, 0), c¹=(2, 3/2, 3/2).

 Найдём множество индексов , на которых игрок 1 может получить наименьший выигрыш: , значит, J¹={2,3}. Для этих индексов выигрыш равен 3/2. Это есть значение нижней оценки цены игры, т. е. . Заметим, что .

2. Далее найдём компоненты векторов . Для этого рассмотрим подыгру . В силу симметричности матрицы ее решением будет вектор (1/2, 1/2), т. е. 1/2a₁+1/2a₂+0a₃=

=(4/2, 3/2, 3/2).

3. Вычислим коэффициент e₂. Для этого решим подыгру (2´3):. Стратегии игроков совпадают, поэтому e₂=0. В этом случае цена игры совпадает со своим нижним значением, т. е.. Возвращаемся к предыдущему шагу.

Итак, оптимальной стратегией игрока 1 является x^*=x¹=(1/2, 1/2, 0) и .Задача решена.

На первый взгляд алгоритм практически трудно реализовать, так как не известно, какого размера будет получена матрица для подыгры Г^N. Но на самом деле с вероятностью 1 на каждом шаге придётся решать подыгру размера не больше чем m´2.[9]

Инженерами-программистами алгоритм был реализован на языке программирования Фортран-IV. Вычислительные эксперименты, проведённые на ЭЦВМ ЕС-1030, показали, что для игр размерности от 25´25 до 100´100, элементы, матрицы выигрышей которых были заполнены случайными числами, алгоритм позволяет найти искомое приближение за 100-1000 итераций, причём их число слабо зависит от размера матрицы. Для решения одной задачи машина затрачивает не дольше 8 минут. Ими же были разработаны различные модификации алгоритма. [9]

Приложение

В приложении приведена реализация итеративного метода Брауна-Робинсона решения матричных игр на языке программирования Turbo Pascal 7.0.

Пользователь вводит матрицу выигрышей размера m×n, где m≥3, n≥3.

Далее машина запрашивает информацию о том, кто из игроков начинает игру, какую стратегию он выбирает и количество итераций.

На дисплее выводится таблица разыгрываний игры за определённое число итераций.

program br;

 

uses crt;

 

const matr1:array[1..3,1..3] of byte=((0,4,2),

(3,1,0),

(1,2,3)); {Начальная матрица}

 

var

matr:array [1..10,1..10] of integer; {Матрица, введенная пользователем}

win_one:array[0..150,1..10] of word; {Массив для выигрышей игр.1}

win_two:array[0..150,1..10] of word; {Массив для выигрышей игр.2}

max,min:integer;

a,i,j,m,n,pl,st,st1,st2,kl:byte;

nol,otr:boolean;

 

function igr_one:byte; {Функция определения следующего}

var a1,a2,max:integer; {хода для игрока 1}

begin

max:=win_one[a,1];

igr_one:=1;

if pl=1 then a2:=m else a2:=n;

for a1:=1 to a2 do if win_one[a,a1]>max then begin

max:=win_one[a,a1];

igr_one:=a1;

end;

end;

 

function igr_two:byte; {Функция определения следующего}

var a1,a2,min:integer; {хода для игрока 2}

begin

min:=win_two[a,1];

igr_two:=1;

if pl=1 then a2:=n else a2:=m;

for a1:=1 to a2 do if win_two[a,a1]<min then begin

min:=win_two[a,a1];

igr_two:=a1;

end;

end;

 

begin

clrscr;

writeln ('Итеративный метод Брауна-Робинсона.');

writeln('Матрица пользователя? (y/n)');

if (readkey='y')or(readkey='Y') then begin {Матрица из памяти или вводит пользователь}

write ('Введите размеры матрицы:');

readln(n,m); {Ввод количества строк и столбцов}

writeln('Введите ',n,' строки по ',m,' элементов:');

nol:=true;

otr:=false;

min:=0;

for j:=1 to n do for i:=1 to m do begin {Ввод элементов матрицы}

read(matr[i,j]);

if matr[i,j]<>0 then nol:=false; {Установка флага, что не все элементы равны 0}

if matr[i,j]<0 then otr:=true; {Установка флага наличия отрицательных элементов}

if matr[i,j]<min then min:=matr[i,j];{Определение минимального элемента}

end

end else begin {Иначе берем матрицу из константы}

n:=3;m:=3;

for i:=1 to m do for j:=1 to n do matr[i,j]:=matr1[i,j];

end;

clrscr;

writeln ('Итеративный метод Брауна-Робинсона.');

if nol then writeln('Все элементы матрицы равны 0!') else begin {если установлен флаг нуля, то алгоритм не работает}

if otr then for j:=1 to n do for i:=1 to m do matr[i,j]:=matr[i,j]-min;{если есть отрицательные элементы,}

writeln('Начальная матрица:'); {Вывод окончательной матрицы}

for j:=1 to n do begin

for i:=1 to m do write(matr[i,j]:4);

writeln;

end;

 

write('Какой игрок начнет игру? '); {Вод стартовых значений}

readln(pl);

write('Какую стратегию выберет ',pl,' игрок? ');

readln(st);

write('Количество итераций? ');

readln(kl);

a:=1; {заглавие таблицы}

writeln(' № стр. выигрыш 1-го игр. стр. выигрыш 2-го игр. V W Y');

repeat

write(a:2,st:6,' '); {формирование таблицы: номер итерации, стратегия 1игр.}

if pl=2 then begin

for i:=1 to n do begin

win_one[a,i]:=matr[st,i]+win_one[a-1,i];{формирование матрицы выигрышей 1 игр.}

write(win_one[a,i]:4); {вывод на экран}

end;

st1:=igr_one; {определение ответной стратегии 2 игр.}

gotoxy(32,wherey);

write(st1:10,' '); {вывод на экран}

for i:=1 to m do begin

win_two[a,i]:=matr[i,st1]+win_two[a-1,i]; {формирование матрицы выигрышей 2 игр.}

write(win_two[a,i]:4); {вывод на экран}

end;

gotoxy(64,wherey);

write(win_one[a,st1]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 1 игр.}

st:=igr_two; {определение ответной стратегии 1 игр.}

write(win_two[a,st]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 2 игр.}

write((win_one[a,st1]+win_two[a,st])/(a*2):6:2);{приближенное значение цены игры}

end

else

begin

for i:=1 to m do begin

win_one[a,i]:=matr[i,st]+win_one[a-1,i];{формирование матрицы выигрышей 1 игр.}

write(win_one[a,i]:4);

end;

st1:=igr_one; {определение ответной стратегии 2 игр.}

gotoxy(32,wherey);

write(st1:10,' ');

for i:=1 to n do begin

win_two[a,i]:=matr[st1,i]+win_two[a-1,i];{формирование матрицы выигрышей 2 игр.}

write(win_two[a,i]:4);

end;

gotoxy(64,wherey);

write(win_one[a,st1]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 1 игр.}

st:=igr_two; {определение ответной стратегии 1 игр.}

write(win_two[a,st]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 2 игр.}

write((win_one[a,st1]+win_two[a,st])/(a*2):6:2);{приближенное значение цены игры}

end;

a:=a+1; {увеличение счетчика итераций}

writeln;

until a=kl+1;

 

end;

readln;

readln;

end.

 Список литературы

1.   Беленький В.З. Итеративные методы в теории игр и программировании. М.: «Наука», 1977

2.   Блекуэлл Д.А. Теория игр и статистических решений. М., Изд. иностранной литературы, 1958

3.   Вентцель Е.С. Элементы теории игр. М., Физматгиз, 1961

4.   Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: «Наука», 1986

5.   Воробьёв И.Н. Математическая теория игр. М.: «Знание», 1976

6.   Давыдов Э.Г. Методы и модели теории антагонистических игр. М.: «Высшая школа», 1990

7.   Дрешер М. Стратегические игры. Теория и приложения. М., 1964

8.   Исследование операций в экономике / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. М.: «Банки и биржи», Юнити, 1997

9.   Итеративный алгоритм решения матричных игр// Доклады Академии наук СССР, том 238, №3, 1978

10.             Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: «Мир», 1964

11.            Крапивин В.Ф. Теоретико-игровые методы синтеза сложных систем в конфликтных ситуациях. М.: «Советское радио», 1972

12.            Крушевский А.В. Теория игр: [Учебное пособие для вузов]. Киев: «Вища школа», 1977

13.            Льюис Р., Райфа Х. Игры и решения. М.,1961

14.            Морозов В.В., Старёв А.Г., Фёдоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: «Высшая школа», 1996

15.            Матричные игры. [Сборник переводов]. Под ред. Воробьёва И.Н. М., Физматгиз, 1961

16.            Оуэн Г. Теория игр. [Учебное пособие]. М.: «Мир», 1973

17.            Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семен Е.А. Теория игр. М., 1989

18.             Школьная энциклопедия математика. Ред. С. М. Никольский, М.: 1996, с. 380