Представление переключательной функции в виде полинома Жегалкина

2. Представление переключательной функции в виде полинома Жегалкина.

 

Теорема Жегалкина. Любая переключательная функ­ция может быть представлена в виде полинома (много­члена), т. е. записана в форме

f(x₁, . . . , x_n) = а_оÅ a₁x₁ Å a₂x₂ Å …Å a_nx_n Å a_n+1x₁ x₂Å … Å a_Nx_1…x_n ,

(1)

где a₀, a₁x₁, … a_N — константы, равные нулю или единице;

Å —операция сложения по модулю два.

При записи конкретной переключательной функции в виде многочлена коэффициенты a₀, a₁x₁, … a_N выпа­дают, так как члены, при которых коэффициенты рав­ны нулю, можно опустить, а коэффициенты, равные еди­нице, не писать.

Для доказательства теоремы Жегалкина предположим, что задана произвольная переключатель­ная функция п аргументов f(x₁, . . . , x_n), равная еди­нице на некотором числе наборов с номерами m₁, … m_p.

Покажем, что переключательная функция f(x₁, . . . , x_n) равна сумме конституент единицы, ко­торые равны единице на тех же наборах, что и данная функция:

f(x₁, . . . , x_n) = K_m1 Å K_m2 Å . . . Å K_mp.(2)

Действительно, на каждом из наборов с номерами m₁, … m_p равна единице только одна конституента, стоящая в правой части выражения (2), а осталь­ные равны нулю. Следовательно, на этих наборах и только на них правая часть выражения (2) принимает значение, равное единице.

Для того чтобы перейти от выражения (2) к виду (1), достаточно представить конституенты едини­цы в виде произведений и, используя соотношение , заменить все переменные с отрицаниями (так как отрицания в выражение (3.1) не входят). Пусть на­пример, конституента единицы записана в виде

.

Тогда получим

K_i= (1 Å x₁)x₂(1Åx₃)x₄x₅.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в соответствии со свойствами операции сложения по модулю два, получаем запись заданной функ­ции в форме (1), что и доказывает теорему.

Приведенное доказательство теоремы позволяет сформулировать правило представления любой пере­ключательной функции в виде многочлена.

Чтобы переключательную функцию, заданную таблицей истинности, представить в виде полинома Жегалкина, доста­точно записать функцию в виде суммы конституент еди­ницы, равных единице на тех же наборах, на которых равна единице заданная функция. Затем все аргументы, входящие в полученное выражение с отрицанием, заме­нить с помощью соотношения , раскрыть скобки и привести подобные члены с учетом тождества;

x, если п нечетно,

x Å x Å . . . Å x = 0, если п четно.

Пример 3. Представить в виде полинома Жегалкина функцию f₅₈(x₁,x₂,x₃).

Функция f₅₈(x₁,x₂,x₃) равна единице на втором, третьем, четвертом и шестом наборах, и может быть записана в виде суммы соответствующих конституент единицы:

f₅₈(x₁,x₂,x₃) =K₂Å K₃Å K₄Å K₆ =.

Используя соотношение , получаем

f₅₈(x₁,x₂,x₃)=(1Åx₁)x₂(1Åx₃)Å(1Åx₁)x₂x₃Å x₁(1Åx₂)(1Åx₃)Åx₁x₂(1Åx₃).

Приводя подобные члены, окончательно находим

f₅₈(x₁,x₂,x₃)= x₁Å x₂Å x₁x₂Åx₁x₃.

3. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма переключательной функции.

 

В общем виде пере­ключательная функция п аргументов может быть задана таблицей истинности. Обозначим через f_(i) (i=0, … ,2ⁿ-1) значение функции на i-м наборе аргументов. Напомним, что каждая из величин f_(i) принимает значение нуль или единица. В соот­ветствие i-му набору аргументов можно поставить конституенту единицы Ki, которая принимает значение, равное единице только на данном f_(i)наборе. Умножим каждую конституенту единицы Ki на значение функ­ции f_(i) и рассмотрим дизъюнкцию произведений f_iK_i:

. (3)

Если подставить в выражение (3) значения f_(i), то получим дизъюнкцию конституент, которые равны еди­нице на тех же наборах, что и заданная функция. Дей­ствительно, ввиду того, что 0×x=0 и 0Úх=х, члены вы­ражения (2), в которых коэффициенты f_(i)=0, можно опустить, а так как x×1 = x, то коэффициенты f_(i)=1 можно не писать. Тогда

где j₁, …,j_m – номера наборов, на которых функция равна единице;

m – число таких наборов.

Определение 3. Дизъюнкция конституент единицы, равных единице на тех же наборах, что и заданная функция, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой переключательной функции.

Любую переключательную функцию f(x₁, . . . , x_n) (кроме константы ноль) можно представить в совершенной дизъюнктивной нормальной форме. Заметим, что любая переключательная функция имеет единственную совершенную дизъюнктивную нормальную форм у: это непосредственно следует из выражения (3).

Совершенную дизъюнктивную нормаль­ную форму переключательной функции удобно находить в такой последователь­ности:

·          выписать ряд произведений всех аргументов и соединить их знаками дизъюнкции; количество произведений должно равняться числу наборов, на которых заданная функция обращается в единицу;

·  записать под каждым произведением набор аргу­ментов, на котором функция равна единице, и над аргу­ментами, равными нулю, поставить знаки отрицания.

Это правило называют иногда правилом запи­си переключательной функции по единицам.

Пример 4. Представить в совершенной дизъюнктивной нормальной форме переключательную функцию четырех аргументов f₂₃₈₀₅(x₁,x₂,x₃,x₄) (см. табл. 2).

Решение. Из табл. 2 видно, что переключательная функция принимает значения, равные единице, на следующих наборах аргументов:

0001, 0011, 0100, 0101, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1111.

Таким образом, совершенная дизъюнктивная нормальная форма функции f₂₃₈₀₅(x₁,x₂,x₃,x₄) будет состоять из одиннадцати дизъюнкций, каждая из которых представляет собой конъюнкцию четырех элементов:

4. Совершенная конъюнктивная нормальная форма переключательной функции.

 

Если заданная переключательная функция равна единице на большинстве наборов аргументов, то представление функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме может оказаться достаточно громоздким. В этих случаях удобнее использовать другую форму представления функции – совершенную конъюнктивную нормальную форму. Для представления функций в этой форме используется функция конституенты нуля.

Рассмотрим выражение

, (4)

где f_(i) – значение переключательной функции на i-м наборе.

Ввиду справедливости соотношений 1Ú x = 1 и 0Úх= х, при подстановке в выражение (4) значений функ­ции f_(i), сомножители, у которых f_(i), == 1, можно опустить, а значения функции f_(i)=0 не писать. Тогда

(5)

где j₁, j₂, …,j_m–номера наборов, на которых функ­ция равна нулю;

т -число таких наборов.

Определение 4. Произведение конституент нуля, которые равны нулю на тех же наборах, что и заданная функция, называется совершенной конъюнктивной нормальной формой.

Любая переключательная функция f(x₁, . . . , x_n) (кроме константы единицы) может быть пред­ставлена в совершенной конъюнктивной нормальной форме. Любая переключательная функ­ция имеет единственную совершенную конъюнктивную нормальную форму.

Сформулируем правило представления переключа­тельной функции в совершенной конъюнктивной нор­мальной форме. Чтобы представить переключательную функцию п аргументов в совершенной конъюнктивной нормальной форме, достаточно:

·          выписать произведение дизъюнкций всех аргументов с количеством сомножителей, равным числу наборов, на которых заданная функция обращается в нуль;

·          выписать под каждым сомножителем набор аргу­ментов, на котором функция равна нулю, и над аргу­ментами, равными единице, поставить знаки отрицания;

Это правило иногда называют правилом запи­си переключательной функции по нулям.

Пример 5. Представить в совершенной конъюнктив­ной нормальной форме функцию f₂₃₈₀₅(x₁,x₂,x₃,x₄) (см. табл. 2).

Решение. Из табл. 2 видно, что переключательная функция принимает значения, равные нулю, на следующих наборах аргументов:

0000, 0010, 0110, 0111, 1110.

Таким образом, совершенная конъюнктивная нормальная форма функции f₂₃₈₀₅(x₁,x₂,x₃,x₄) будет состоять из пяти конъюнкций, каждая из которых представляет собой дизъюнкцию четырех элементов:

ЛИТЕРАТУРА

 

1.         Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).

2.         Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.

3.         Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).