Булевы функции

1.Основные понятия булевой алгебры

Технические вопросы, связанные с составлением логических схем ЭВМ, можно решить с помощью математического аппарата, объектом исследования которого являются функции, принимающие, так же как и их аргументы, только два значения - “0” и “1”.

Таким аппаратом является математическая логика (алгебра логики, булева алгебра).

Логика - это наука о законах и формах мышления.

Математическая логика занимается изучением возможностей применения формальных методов для решения логических задач. Один из разделов математической логики является алгебра логики.

Основное понятие алгебры логики - высказывание. Высказывание - это некоторое предложение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно.

Любое высказывание можно обозначить символом х и считать, что х=1, если высказывание истинно, а х=0 - если высказывание ложно. Истинному высказыванию соответствует утверждение -“Да”, ложному высказыванию - утверждение - “Нет”.

Логическая (булева) переменная - такая величина х, которая может принимать только два значения х={0,1}.

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение х=1 при любых условиях.

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение х=0 при любых условиях.

Функция f, зависящая от n переменных x1,x2,...,xn, называется булевой, или переключательной, если функция f и любой из ее аргументов  принимают значения только из множества {0,1}. Аргументы булевой функции также называются булевыми.

2.Способы задания булевых функций

Произвольная булева функция задается одним из трех способов: матричным (табличным), геометрическим и аналитическим.

При матричном способе булева функция f(x1,...,xn) задается таблицей истинности (табл. 1 и 2), в левой части которой представлены все возможные двоичные наборы длины n, а в правой указывается значение функции на этих наборах.

Под двоичным набором понимается совокупность значений аргументов x1,x2,...,xn булевой функции f. Двоичный набор имеет длину n, если он представлен n цифрами из множества {0,1}. В табл. 1 и 2 перечислены все двоичные наборы соответственно длины 3 и 4.

Таблица 1 Таблица 3

х1	х2	х3	f(х1,х2,,х3)		Номер набора	f(х1,х2,,х3)
0	0	0	0		0	0
0	0	1	1		1	1
0	1	0	0		2	0
0	1	1	0		3	0
1	0	0	1		4	1
1	0	1	1		5	1
1	1	0	0		6	0
1	1	1	1		7	1

Таблица 2 Таблица 4.

x1	x2	x3	x4	f(х1..х4)		x1,x2,...,xj-1	xj,xj+1,...,xn
							00..0	0...1	...	11..1
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0		00...0			...
0	0	1	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0		00...1			...
0	1	1	0	1					f(х1...хn)
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0		...	...	...	...	...
1	0	1	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0		11...1
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

Иногда двоичные наборы в таблице истинности булевой функции удобно представлять номерами наборов. Запишем аргументы x1,x2,...,xn в порядке возрастания их индексов. Тогда любой двоичный набор можно рассматривать как целое двоичное число N, называемое номером набора. Например, двоичные наборы 0101 и 1000 имеют номера 5 и 8 соответственно. Очевидно, любая булева функция может быть задана таблицей истинности, в которой двоичные наборы заменены своими номерами (табл.3).

Булевы функции, зависящие от большого числа переменных, задавать таблицей истинности неудобно в силу ее громоздкости. Например, таблица истинности булевой функции 8 переменных будет содержать 28 = 256 строк. Поэтому для задания функций многих переменных удобно использовать модификацию таблицы истинности.

Рассмотрим способ построения такой таблицы истинности для функции n переменных. Множество из n переменных функции разбивается на два подмножества: x1,x2,...,xj-1 и хj, xj,xj+1,...,xn. Переменными x1,x2,...,xj-1 отмечают строки таблицы истинности, задавая в каждой строке значение соответствующего двоичного набора длины j-1. Переменными xj,xj+1,...,xn отмечают ее столбцы, задавая в каждом столбце значения соответствующего двоичного набора длины n-j+1. Значение функции записывается в клетке на пересечении соответствующей строки и столбца (табл.4.).

При геометрическом способе булева функция f(х1,..., xn) задается с помощью n-мерного куба. В геометрическом смысле каждый двоичный набор есть n-мерный вектор, определяющий точку n-мерного пространства. Исходя из этого, все множество наборов, на которых определена функция n переменных, представляется вершинами n-мерного куба. Отмечая точками вершины куба, в которых функция принимает единичные (либо нулевые) значения, получим геометрическое представление функции. Например, булева функция, заданная табл.1, геометрически представляется 3-мерным кубом (рис. 1.в).

а) n=1 б) n=2 в) n=3

Рисунок 1- Геометрическое задание булевой функции:

а) одной переменной: б) двух переменных; в) трех переменных.

При аналитическом способе булева функция задается формулами, т. е. аналитическими выражениями, построенными на основе операций булевой алгебры. Аналитический способ задания булевых функций занимает особое место в проектировании цифровых автоматов. Фактически, все преобразования над булевыми функциями, необходимые для построения цифровых автоматов, ведутся на аналитическом уровне.

Рассмотрим области определения булевых функций. Между двоичными наборами и двоичными числами существует взаимно однозначное соответствие. Следовательно, существует 2n различных наборов двоичных переменных.

Таким образом, областью определения булевой функции n переменных при матричном способе задания является множество всех возможных двоичных наборов длины n, а при геометрическом способе задания — множество всех вершин n-мерного единичного куба.

Булеву функцию, определенную на всех своих наборах, называют полностью определенной.

Булеву функцию n переменных называют неполностью определенной или частичной, если она определена не на всех двоичных наборах длины n.

 

3.Булевы функции одной и двух переменных

Рассмотрим наиболее употребимые булевы функции одной и двух переменных. Функции одной переменной представлены в табл. 5.

Таблица 5

f(х)	х		Усл.	Наименование
	0	1	обозн
f0 (х)	0	0	0	тождественный ноль (константа 0);
f1 (х)	0	1	х	тождественная функция
f2 (х)	1	0		отрицание х (инверсия);
f3 (х)	1	1	1	тождественная единица (константа 1).

Функции двух переменных представлены в табл. 6.

Рассмотренные простейшие булевы функции позволяют строить новые булевы функции с помощью обобщенной операции, называемой операцией суперпозиции. Фактически операция суперпозиции заключается в подстановке вместо аргументов других булевых функций (в частности аргументов).

Отметим, что реально элементарной функции соответствует реализующий ее элемент, а суперпозиции булевых функций соответствует соединение элементов.

Таблица 6

	х1	0	0	1	1	Наименование функции
	х2	0	1	0	1
f0 (х1,х2)		0	0	0	0	константа 0
f1 (х1,х2)		0	0	0	1	конъюнкция
f2 (х1,х2)		0	0	1	0	запрет по х2
f3 (х1,х2)		0	0	1	1	переменная х1
f4 (х1,х2)		0	1	0	0	запрет по х1
f5 (х1,х2)		0	1	0	1	переменная х2
f6 (х1,х2)		0	1	1	0	сумма по модулю 2
f7 (х1,х2)		0	1	1	1	дизъюнкция
f8 (х1,х2)		1	0	0	0	операция Пирса (ф-ция Вебба)
f9 (х1,х2)		1	0	0	1	логическая равнозначность
f10 (х1,х2)		1	0	1	0	инверсия х2
f11 (х1,х2)		1	0	1	1	импликация от х2 к х1
f12 (х1,х2)		1	1	0	0	инверсия х1
f13 (х1,х2)		1	1	0	1	импликация от х1 к х2
f14 (х1,х2)		1	1	1	0	штрих Шеффера
f15 (х1,х2)		1	1	1	1	константа 1

Суперпозиция булевых функций представляется в виде логических формул. Однако следует отметить:

- одна и та же функция может быть представлена разными формулами;

- каждой формуле соответствует своя суперпозиция и, следовательно, своя схема соединений элементов;

- между формулами представления булевых функций и схемами, их реализующими, существует взаимнооднозначное соответствие.

Очевидно, среди схем, реализующих данную функцию, есть наиболее простая. Поиск логической формулы, соответствующей этой схеме, представляет большой практический интерес, а преобразование формул булевых функций основано на использовании соотношений булевой алгебры.

4.Основные законы и тождества булевой алгебры

Для булевой алгебры определены одна одноместная (унарная) операция “отрицание” и две двухместные (бинарные) операции конъюнкция и дизъюнкция (обозначаются «Ù», «Ú» соответственно). Приведем некоторые основные формулы.

Под бинарной операцией на множестве А, в общем случае понимают отображение декартового произведения множеств (А х А) в множество А. Иными словами, результат применения бинарной операции к любой упорядоченной паре элементов из А есть также элемент из множества А.

Под унарной операцией на множестве А понимают выделение (фиксацию) какого-либо элемента множества А.

Преобразование формул булевых функций применением только аксиом булевой алгебры малоэффективно. Для упрощения формул используется целый ряд соотношений. Из коммутативности и ассоциативности дизъюнкции следует, что дизъюнкция нескольких переменных может выполняться последовательно, причем порядок взятия дизъюнкции не влияет на результат. Формулы де Моргана:

 

Следствия из формул де Моргана:

 

Формулы для системы функций:

операция поглощения (х поглощает у): хÚху=х; или х(хÚу)=х.

операция склеивания: хуÚх=х, или (хÚу)Ù(хÚ)=х

5.Аналитическое представление булевых функций

Рассмотрим универсальные (канонические) формы представления, дающие возможность получить аналитическую форму непосредственно по таблице истинности для произвольной булевой функции. Эта форма в дальнейшем может быть упрощена. Поскольку между множеством аналитических представлений и множеством схем, реализующих булеву функцию, существует взаимно однозначное соответствие, отыскание канонической формы представления булевой функции является начальным этапом синтеза схемы, ее реализующей. Наиболее широкое распространение получила совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Прежде чем перейти к ее изучению, приведем определение конституенты единицы — понятия, которым будем широко пользоваться в дальнейшем.

Конституентой единицы (коньюнктивным термом) называется функция f(x1,x2,...,xn), принимающая значение 1 только на единственном наборе.

Конституента единицы записывается как логическое произведение n различных булевых переменных, некоторые из них могут быть с отрицаниями. Можно легко выразить любую булеву функцию как дизъюнкцию конституент единицы, соответствующих тем наборам, на которых функция равна 1.

Дизъюнкция конституент 1, равных 1 на тех же наборах, что и заданная функция, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой переключательной функции( СДНФ).

Наборы, на которых функция f принимает значение 1, часто называются единичными, остальные — нулевыми наборами. Выписывать в СДНФ имеет смысл только конституенты единицы, соответствующие единичным наборам.

Пример. Выпишем СДНФ для функций, заданных таблицей истинности (табл. 7.).

Таблица 7. х1х2х3 f(х1,х2,х3) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1

fСДНФ(х1,х2,х3)=

ÚÚÚ

fСКНФ(х1,х2,х3)=

Ù Ù Ù

Другая известная форма носит название совершенной конъюнктивной номальной формы (СКНФ). Она строится аналогично СДНФ.

Определение. Конституентой нуля (дизьюнктивным термом) называется функция, принимающая значение 0 на единственном наборе.

Конституента нуля записывается в виде элементарной дизъюнкции всех переменных. Каждому набору соответствует своя конституента 0. Например, набору 0110 переменны х1,х2,х3,х4 соответствует конституента нуля .

СКНФ представляется как конъюнкция конституент нуля, соответствующих нулевым наборам функции.

 

6.Функционально полные системы булевых функций

Любая булева функция может быть представлена аналитически одной из нормальных форм (СДНФ, СКНФ). Последние используют ограниченное число элементарных булевых функций. Например, для СДНФ такими функциями являются «конъюнкция», «дизъюнкция» и «отрицание». Существуют системы булевых функций, с помощью которых можно аналитически представить любую сколь угодно сложную булеву функцию. Проектирование цифровых автоматов основано на знании таких систем булевых функций. Последнее особенно важно для разработки комплектов интегральных микросхем, из которых можно построить произвольный цифровой автомат. Проблема функциональной полноты является центральной проблемой функциональных построений в алгебре логики.

Определение. Функционально полной системой булевых функций (ФПСБФ) называется совокупность таких булевых функций {f1, f2,..., fk}, что произвольная булева функция f может быть записана в виде формулы через функции этой совокупности.

К ФПСБФ следует отнести системы: {,,НЕ}, {, , НЕ}.

Определение свойств ФПСБФ основано на понятии замкнутого относительно операции суперпозиции класса функций. Класс булевых функций, функционально замкнутый по операции суперпозиции, есть множество функций, любая суперпозиция которых дает функцию, также принадлежащую этому множеству. Среди функционально замкнутых классов выделяют классы особого типа, называемые предполными, которые обладают следующим свойством. Предполный класс S не совпадает с множеством P2 всех возможных булевых функций, однако, если в него включить любую, не входящую в S, булеву функцию, то новый функционально замкнутый класс будет совпадать с множеством P2. Проведенные исследования показали, что предполных классов пять, а для построения ФПСБФ необходимо и достаточно, чтобы ее функции не содержались полностью ни в одном из пяти предполных классов. Перечислим предполные классы булевых функций:

1) булевы функции, сохраняющие константу 0;

2) булевы функции, сохраняющие константу 1;

3) самодвойственные булевы функции;

4) линейные булевы функции;

5) монотонные булевы функции.

Определение. К булевым функциям, сохраняющим константу 0, относят такие булевы функции f(x1,x2,...,xn), для которых справедливо соотношение

f (0,..., 0)=0.

Примерами булевых функций, сохраняющих константу 0, являются функции f0 – f7 (табл. 6.).

Определение. К булевым функциям, сохраняющим константу 1, относят такие булевы функции f(x1,x2,...,xn), для которых справедливо соотношение f (1,1, ..., 1)=1.

Примерами булевых функций, сохраняющих константу 1, являются функции f1, f3, f5, f7 (табл. 6).

Прежде чем ввести понятие класса самодвойственных функций, дадим следующее определение.

Определение. Булевы функции f1(x1,x2,...,xn) и f2(x1,x2,...,xn), называются двойственными друг другу, если выполняется соотношение f1(x1,x2,...,xn) =

Двойственными являются функции из табл. 6 - f0 и f15 , f1 и f7 и т. д.

Определение. К самодвойственным булевым функциям относят такие булевы функции, которые двойственны по отношению к самим себе, т. е. справедливо соотношение f1(x1,x2,...,xn) = .

Если условиться называть противоположными наборами набор и набор , то определение самодвойственных функций дадим следующее.

Определение. Булева функция называется самодвойственной, если на любых двух противоположных наборах она принимает противоположные значения.

Самодвойственными являются функции f3, f5, f10, f12 из табл. 6.. Из определения самодвойственной функции следует, что она полностью определяется своими значениями на первой половине строк таблицы истинности.

Определение. К линейным булевым функциям относят такие булевы функции, которые представимы в виде

f(x1,x2,...,xn)=с0с1х1... сnхn,

где сі{0, 1}, а  - операция «сумма по mod 2».

Линейными являются булевы функции из табл. 6 - f0, f3 , f5 и т. д.

Прежде чем ввести понятие класса монотонных булевых функций, дадим следующее определение.

Определение. Двоичный набор не меньше двоичного набора , (т.е. ), если для каждой пары  справедливо соотношение .

Так, набор 1011 ≥1010. Вместе с тем наборы 1011 и 0100 несравнимы в том смысле, что для них не выполняется ни соотношение , ни .

Определение. Булева функция f(x1,x2,...,xn) называется монотонной, если для любых двух наборов  и  таких, что  имеет место неравенство ff()

Монотонными являются булевы функции f0, f1,f3 , f5 (из табл. 6) и т.д.

Приведем без доказательства две формулировки теоремы о функциональной полноте.

Теорема. Для того чтобы система S булевых функций была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы эта система содержала хотя бы одну булеву функцию, не сохраняющую константу 0, хотя бы одну булеву функцию, не сохраняющую константу 1, хотя бы одну несамодвойственную булеву функцию, хотя бы одну нелинейную булеву функцию и хотя бы одну немонотонную булеву функцию.

Система булевых функций является функционально полной тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из предполных классов. При помощи функционально полной системы можно реализовать булеву функцию любой степени сложности.

Рассмотрим примеры ФПСБФ. К таким ФПСБФ, наиболее распространенным в практике построения цифровых автоматов, следует отнести: (, НЕ); (,НЕ); (V, НЕ); (, НЕ), (,1); где символами V, , , НЕ, 1 обозначены булевы функции: «дизъюнкция», «конъюнкция», «сумма по mod 2», «отрицание», «константа 1», соответственно.

 

 

7.Минимизация булевых функций

При проектировании цифровых автоматов широко используются методы минимизации булевых функций, позволяющие получать рекомендации для построения экономичных схем цифровых автоматов. Общая задача минимизации булевых функций может быть сформулирована следующим образом: найти аналитическое выражение заданной булевой функции в форме, содержащей минимально возможное число букв. Следует отметить, что в общей постановке данная задача пока не решена, однако достаточно хорошо исследована в классе дизъюнктивно-конъюнктивных нормальных форм.

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция конечного числа различных между собой булевых переменных, каждая из которых может иметь или не иметь отрицания.

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Определение. Минимальной дизъюнктивной нормальной формой булевой функции называется ДНФ, содержащая наименьшее число букв (по отношению ко всем другим ДНФ, представляющим заданную булеву функцию). Определение. Булева функция g(x1,x2,...,xn) называется импликантой булевой функции f1(x1,x2,...,xn), если для любого набора переменных, на котором g = 1, справедливо f = 1. Пример. Булева функция f задана таблицей 8. Там же приведены все ее импликанты. При записи функции и ее импликант в СДНФ имеем

f= ÚÚ

g1=

g2=

g3=V=

g4=

g5=vv=

g6=vv

g7=ÚÚ

Определение. Импликанта g булевой функции f, являющаяся элементарной конъюнкцией, называется простой, если никакая часть импликанты g не является импликантой функции f.

Из примера видно, что импликанты g3 и g5 являются простыми импликантами функции f. Другие импликанты не являются простыми, так как их части являются импликантами функции f, например g3 является частью g1. Приведем без доказательства два утверждения, полезные при получении минимальной ДНФ.