Понятие эвристики в математике

Содержание

Введение. 3

1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике. 6

1.1. Понятие доказательства в математике. 6

1.2. Эвристика как метод научного познания. 10

1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода. 19

2. Эвристические приемы построения математических доказательств. 23

2.1. Эвристический метод построения математических доказательств. 23

2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем 28

Заключение. 39

Список литературы.. 42

Введение

Логическое доказательство математических построений известно еще с Древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI—V веках до нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определенную последовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у кого никаких сомнений. Этот «дедуктивный» метод получил дальнейшее развитие у Эвклида, Архимеда и Апполония. Понятие доказательства у них уже ни в чем существенном не отличается от нашего. Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда, когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.

Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большие группы — приемы алгоритмического типа и эвристические. Остановимся сначала на характеристике приемов алгоритмического типа.

Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующего законам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами, обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственно рассчитаны. Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но не достаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействует совершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом творческой деятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых, эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать « строительный материал» для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточным формирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует специфике продуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой стороны мыслительной деятельности.

Эвристические методы решения задач - это система принципов и правил, которые задают наиболее вероятностные стратегии и тактики деятельности решающего, стимулирующие его интуитивное мышление в процессе решения, генерирование новых идей и на этой основе существенно повышающие эффективность решения определенного класса задач.

Эвристические приемы непосредственно стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и тем самым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличии от приемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем. Они направляют мысль решающих на проникновение в суть описываемого в условии предметного содержания, на то, чтобы за каждым словом они видели его реальное содержание и по нему судили о роли в решении того или иного данного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словесно логическим мышлением — возможность целостного восприятия, видения всей описываемой в условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивного мышления интуитивных процессов.

Целью данной работы является рассмотрение эвристических логических подходов к построению доказательств.

В работе поставлены следующие задачи:

- рассмотреть понятие доказательства в математике и его особенности;

- рассмотреть эвристику как метод научного познания;

- рассмотреть особенности эвристического подхода в рамках логического;

- рассмотреть эвристические приемы построения математических доказательств.

При написании работы были использованы труды таких авторов, как Серебряникова О.Ф., Лакатоса И., Писаревского Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.И., Беляева Е.А, Перминова В.Я., Калошиной И.П., Миничкиной Н.В., Харичевой Г.И., Миничкиной Н.В., Адамара Ж., Белла Э.Т., Биркгофа Г., Болтянского В.Г., Куранта Р., Робинса Г., Шакурова Р.Х.

1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике   1.1. Понятие доказательства в математике

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.[1]

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает самое математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е. Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры и далее пишет: "Доказательством суждения называют честный прием, делающий это суждение неоспоримым". Есенин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д. Гильбертом.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно - не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его "Начала" стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания и долгое время оставались таковыми для математиков.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d[2]. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты[3].

Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

1.2. Эвристика как метод научного познания

Вопросы понимания механизмов человеческого мышления, выработки приемов повышения его эффективности в те далекие времена больше занимали, говоря сегодняшним языком, представителей гуманитарных профессий: философов, теологов, психологов. Первые упоминания об эвристике, учении о продуктивных методах творческого мышления, относятся к временам античности. Наиболее ранние попытки выявить особенности творческого подхода при решении задач нашли отражение в трудах Архимеда, Евклида, Апполония Бергамского, Аристея-старшего. Сам же термин "эвристика" впервые появился в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второй половине III века нашей эры.

Эвристика (от греч. "эврика" - Я нашел) - наука о вспомогательных, дополнительных к основным (эксперимент, наблюдение и т.п.) приемах получения знаний.

В научной литературе это понятие не имеет единого толкования. В некоторых работах об интенсификации научно-технического творчества эвристика отождествляется с психологией научного творчества: "Психология научного творчества - эвристика изучает, как решаются научные задачи, требующие, кроме знаний и умений, также и сообразительности, догадки".

Другие психологи считают, что эвристика - это "абстрактно-аналитическая наука, изучающая один из структурных уровней организации творческой деятельности и ее продуктов".

Следующие определения эвристики:

1.Специальные методы, используемые в процессе открытия (создания) нового (эвристические методы).

2.Наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическую деятельность).

3.Восходящий к Сократу метод обучения (майевтика) .

По мнению психологов, эвристика - это отрасль знания, "изучающая формирование новых действий в необычной ситуации", она может стать наукой "в том случае, если эвристические процессы, приводящие к этим новым действиям, найдут наконец свое математическое описание".

Приведенные высказывания (которых можно было бы привести больше), свидетельствуют о том, что эвристика как самостоятельная наука еще не сформировалась.

Несмотря на большое количество научных трудов, посвященных вопросам эвристики, они, как правило, касаются ее частных проблем и не дают четкого представления ни об объекте, ни о предмете эвристики, ни о ее статусе среди других наук.

Попытка обобщения многочисленных концепций и формулирование на этой основе определения статуса и предмета эвристики изложены в работах Буша Г.Я и Буша К. По определению авторов этой работы: "Эвристика - это общенаучная теория решения проблемных задач, возникающих в человеческой деятельности и общении".

Предметом эвристики является "выявление, обработка и упорядочение закономерностей, механизмов и методологических средств антиципации (предвосхищения) и конструирования нового знания и целеустремленных способов деятельности и общения, создаваемых на основе обобщения прежнего опыта и опережающего отражения моделей будущего с целью более полного удовлетворения потребностей людей".

Оценивая попытку авторов, можно сказать, что с точки зрения обобщения частных подходов к эвристике она удалась, но вместе с тем, очевидно, стремление к детерминации общности помешало авторам в данном определении выделить специфические черты именно эвристики, и в результате под это определение можно подвести и другие общенаучные дисциплины, например такие, как прогнозирование или системный подход.

Множество толкований эвристики говорит о разном содержании, которое вкладывают авторы различных концепций в данное понятие. При этом общим и бесспорным является то, что во всех случаях эвристика неразрывно связывается с творческой деятельностью, с творчеством.

Общими звеньями, связывающими в единую цепь понятия "эвристика" и "творчество", являются представления о нетривиальности, неординарности, новизне и уникальности. Применительно к понятию "творчество" такими качествами характеризуется результат творческой деятельности, применительно к эвристике - методы и средства получения этого результата.

К проблемам создания эвристики обращались ряд философов и математиков, например, Р. Декарт, Г. Лейбниц, Б. Больцано, А. Пуанкаре. Например, в труде "Правила для руководства ума" Р. Декарт предложил ряд принципов поиска истины. Они настолько интересны и актуальны еще и сегодня, что стоит кратко познакомиться с некоторыми его мыслями.

Декарт, во-первых, утверждал, что способность правильно судить и отличать истинное от ложного, что, собственно, и именуется здравым смыслом или разумом, от природы у всех людей одинакова. "Таким образом, различие наших мнений происходит не оттого, что одни люди разумнее других, но только оттого, что мы направляем наши мысли разными путями и рассматриваем не те же самые вещи. Ибо мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять". (Можно добавить, что мало иметь хорошие знания, главное уметь их применять.)

Для хорошего же применения своего ума Декартом сформулированы четыре принципа, следовать которым он рекомендовал, и которые остаются актуальными и в наше время. Приведем их и вслед за их автором настойчиво порекомендуем следовать им, и особенно - второму, поскольку он предвосхитил, как мы увидим дальше, один из фундаментальных системных принципов.

Первое - "никогда не принимать за истинное ничего, что я не познал бы таковым с очевидностью; иначе говоря, тщательно избегать опрометчивости и предвзятости и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и столь отчетливо, что не дает мне никакого повода подвергать их сомнению".

Второе - "делить каждое из исследуемых затруднений на столько частей, сколько это возможно и нужно для лучшего их преодоления".

Третье - "придерживаться определенного порядка мышления, начиная с предметов наиболее простых и наиболее легко познаваемых и восходя постепенно к познанию наиболее сложного, предполагая порядок даже и там, где объекты мышления вовсе не даны в их естественной связи".

И последнее - "составлять всегда обзоры столь общие, чтобы была уверенность в отсутствии упущений".

Основными этапами эвристического подхода являются "...накопление сведений об изучаемом явлении на нестрогом эвристическом уровне на основе численного эксперимента, создание интуитивной схемы явления, проверка ее на следующем этапе численного эксперимента и, наконец, построение строгой теории...". Свою точку зрения на предмет математики и ее соотношения с другими науками изложил в эссе "Математик" и статье "Роль математики в науках и обществе" математик и философ Нейман фон Джон. По Нейману, "...самая жизненно важная отличительная особенность математики состоит в ее совершенно особой связи с естественными науками или... с любой наукой, интерпретирующей опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный. Большинство людей... согласятся с тем, что математика не является эмпирической наукой или что она, по крайней мере, по образу действий отличается в некоторых весьма важных отношениях от методов эмпирических наук. Тем не менее, развитие математики весьма тесно связано с естественными науками. Один из ее разделов - геометрия - зародился как естественная, эмпирическая наука. Некоторые из наиболее ярких идей современной математики... отчетливо прослеживаются до своих истоков в естественных науках. Математические методы пронизывают "теоретические разделы" естественных наук и доминируют в них. Главный критерий успеха в современных эмпирических науках все в большей мере усматривают в том, насколько эти науки оказываются в сфере действия математического метода или почти математических методов физики. Неразрывная цепь последовательных псевдоморфоз, пронизывающая естественные науки, сближающая их с математикой и почти отождествляемая с идеей научного прогресса, становится все более очевидной. В биологию... проникают химия и физика, в химию - экспериментальная и теоретическая физика, в физику - наиболее изощренные в своей математической форме методы теоретической физики. Природа математики обладает весьма замечательной двойственностью. Эту двойственность необходимо осознать, воспринять и включить ее в круг представлений, неотъемлемых от предмета. Эта двуликость присуща лицу математики, и я не верю, что можно прийти к какому-либо упрощенному единому взгляду на математику, не пожертвовав при этом существом дела... Я считаю, что довольно хорошее приближение к истине (которая слишком сложна, чтобы допускать что-нибудь, кроме аппроксимации) состоит в следующем. Математические идеи берут свое начало в эмпирике, но генеалогия их подчас длинна и неясна. Но коль скоро эти идеи возникли, они обретают независимое, самостоятельное существование. Их лучше сравнивать с художественными произведениями, подчиняющимися чисто эстетическим оценкам, чем с чем-либо другим и, в частности, с эмпирическими науками. Однако... когда математическая дисциплина отходит достаточно далеко от своего эмпирического источника, а тем более, когда она принадлежит ко второму или третьему поколению и лишь косвенно вдохновляется идеями, восходящими к "реальности", над ней нависает... серьезная опасность. Она все более превращается в... искусство ради искусства... существует серьезная опасность... что математическая дисциплина начнет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что поток вдали от источника разделится на множество мелких рукавов и что соответствующий раздел математики обратится в беспорядочное нагромождение деталей и всякого рода сложностей... на большом расстоянии от эмпирического источника или в результате чересчур абстрактного инбридинга /скрещивания близкородственных форм. Математической дисциплине грозит вырождение. При появлении того или иного раздела математики стиль обычно бывает классическим. Когда же он обретает признаки перерождения в барокко, это следует расценивать, как сигнал опасности... При наступлении этого этапа единственный способ исцеления... состоит в том, чтобы возвратиться к источнику и впрыснуть более или менее прямо эмпирические идеи. Я убежден, что это всегда было необходимо для того, чтобы сохранить свежесть и жизненность математической теории, и что это положение остается в силе и в будущем..." (эссе "Математик"). Нейман писал о том, что "...математика не должна ограничиваться ролью поставщика решений различных задач, возникающих в естественных науках; наоборот, естествознание должно стать неисчерпаемым источником постановок новых чисто математических проблем...". ("Роль математики в науках и обществе").

Об эвристическом значении критериев красоты в математическом поиске говорят и многие другие большие и не столь большие ученые - Гейзенберг, Гаррисон, Эйнштейн.

Так, А. Пуанкаре считает, что в нас сидит "эстетический сторож", который уже при самом зарождении идей отметает некрасивые математические решения, даже не допуская их к рассмотрению. Обращаясь к формуле закона тяготения, например, отечественный физик второй половины XX в. А. Китайгородский замечает следующее. Напомнив уравнение

F= ,

Китайгородский пишет, что если бы в числителе вместо произведения масс m1 и m2 фигурировала, скажем, сумма (m1+m2), а в знаменателе вместо r2 находилась бы r в девятой степени, такая формула сразу же отталкивала как неэстетическая, некрасивая и потому неверная.

И уже затем после этого первого досмотра осуществляет выбор между допущенными к конкуренции вариантами, когда выносится окончательный эстетический приговор в пользу наиболее совершенного, сполна удовлетворяющего эстетическому вкусу математического описания.

Остается непроясненным, а что же именно полагать красивым, каковы критерии самого этого критерия истинной теории? Это те же количественные (основанные на минимальности значений) и логические (симметрия, стройность и т.п.) характеристики, но пропущенные через эстетическое чутье ученого. Как пишет, например, математик Б. Гнеденко, "результат считается красивым, если из малого числа условий удается получить общие заключения, относящиеся к широкому кругу объектов.

Поэтому так важно воспитывать у исследователя восприятие прекрасного, способность схватывать и ценить красоту. Без достаточно развитого эстетического чувства, подчеркивает Пуанкаре, никто никогда не станет крупным творцом в математике.

Красоту математики видят в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, в изяществе математических доказательств, в порядке, богатстве приложений, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивого объекта моделью, удовлетворяющей требованиям изоморфизма, простоты и неожиданности. Так, Э.Т. Белл привлекательность математического объекта видит в совокупности следующих характеристик[4]:

— универсальность использования в различных разделах математики, как правило, изначально совсем неочевидная;

— продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;

— максимальная емкость охвата объектов рассматриваемого типа.

Указанная совокупность признаков красивого математического объекта, как и другие предлагаемые наборы характеристик красоты, сформулирована не вполне четко и несколько размыто, что объясняется их «трудной уловимостью» и неполной осознаваемостью.

Наиболее четко характеристика эстетической привлекательности математического объекта дана Г. Биркгофом:

M=O/C,

где M — мера красоты объекта,

O — мера порядка,

а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта[5].

С формулой красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучна модель, разработанная В.Г. Болтянским[6]. По его мнению, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между этим объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью его появления. Изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядной модели. Созвучность видится в том, что как в первой, так и во второй модели мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта (по Биркгофу) или чем проще наглядная модель исследуемого объекта (по Болтянскому).

Надо сказать, что проблема красоты занимает не только математиков, она привлекала и привлекает внимание величайших умов человечества. Одни исследователи считают, что в красоте объектов проявляется их свойство, существующее независимо от сознания. Чувство красоты трактуется как продукт отражения в человеческом сознании реально существующих эстетических свойств окружающего мира. Другие рассматривают красоту как продукт ума, свободной мысли. Для третьих красота является даром богов, особенно женская красота, воспеваемая в поэзии, литературе, живописи. Писатель-фантаст А. Казанцев во второй половине прошлого столетия выдвинул версию, согласно которой красивыми кажутся те черты лица, которые отвечают биологической целесообразности, лучше приспособлены к природным условиям. Наиболее правдоподобно природа красоты была раскрыта в 60-х годах XX столетия известным психологом академиком Р.Х. Шакуровым. Им была предложена гипотеза о том, что красивы те черты лица, которые при зрительном восприятии укладываются в их корковый, обобщенный образ — в стереотипный усредненный стандарт, сформировавшийся в нашей голове в ходе общения с людьми. Сказанное отражает красоту форм. Другими составляющими красоты являются: ее эмоционально-экспрессивная сторона, обращенная к аффилиативной потребности, ассоциативно-эмоциональный компонент, оригинальность. Указанные составляющие проявляются в улыбчивых лицах, светящихся добротой и нежностью, в цвете лица, ассоциирующемся со здоровьем, в своеобразии, нестандартности.

Очевидно, что указанное понимание красоты лица может быть перенесено на красоту любого объекта, в частности математического. Наиболее привлекательным будет тот объект, представление о котором соответствует сформировавшемуся образу этого объекта. Данный вывод совпадает с указанными математическими моделями эстетической привлекательности математических объектов. Ясно, что в случае затраты минимума усилий, а это возможно когда восприятие укладывается в обобщенный образ (по Шакурову[7]), мера красоты возрастает, причем степень возрастания пропорциональна росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых учеником сопряжено с наименьшими его усилиями. Их привлекательность будет усиливаться за счет динамической составляющей красоты, выражаемой в оригинальности, неожиданности, изяществе.

1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода

 

В логике различают дедуктивные и недедуктивные (эвристические) рассуждения. В связи с этим, для полноты картины, необходимо рассмотреть эвристический подход к построению математических доказательств в более широком контексте противопоставления дедуктивных и недедуктивных высказываний.

Дедуктивными называются рассуждения, заключение которых с логической необходимостью вытекают из посылок. Эти посылки могут быть истинными, правдоподобными или вероятными, или даже ложными, но если вы их приняли, то должны согласиться и с заключением дедукции. Вот почему в современной науке дедукция рассматривается как логический механизм преобразования информации, сохраняющий ее истинностное значение. Следовательно, она переносит истинностное значение посылок рассуждения на его заключение. Если эти посылки истинны и достоверны, то таким же будет и заключение. Подобный способ рассуждения в логике называют доказательством, и он является типичным для всех рассуждений в математике и точных науках.

Достоинства дедуктивных рассуждений состоят, во-первых, в том, что они допускают объективную, или точнее, интерсубъективную, проверку. Это значит, что каждый может проверить их посылки, а если он рассуждает по правилам дедуктивной логики, то и убедиться в достоверности заключения. Во-вторых, заключение, или следствие, дедукции имеет завершенный, окончательный характер, и поэтому его можно отделить от посылок и использовать его самостоятельно. Это свойство дедукции называют автаркией. Именно так поступают в математике, когда формулируют теоремы, не ссылаясь непосредственно на аксиомы, хотя в принципе через сложную цепь промежуточных дедукций их можно было вывести из аксиом. В-третьих, заключения, или следствия, дедукции, как мы уже отметили, имеют логически необходимый, доказательный, а следовательно, обязательный и принудительный характер для любого рассуждающего. На этом основании дедуктивные умозаключения, опирающиеся на истинные посылки, называют доказательными или демонстративными рассуждениями, а соответствующую аргументацию — демонстративной.

Все эти достоинства объясняют, почему именно дедуктивные рассуждения являются наиболее убедительными методами рассуждения, а очень часто в нашей литературе они просто отождествляются с аргументацией. Однако убедительность аргументации, как нетрудно убедиться, зависит прежде всего от характера тех аргументов, или доводов, которые служат посылками рассуждения. Очевидно, что если посылки дедукции будут ложными, то и заключение также будет ложным. Фундаментальный принцип дедукции состоит в том, что из истины нельзя по ее правилам вывести ложное заключение. Если посылки дедукции являются вероятными суждениями, тогда и заключение будет вероятным. Этот принцип относится и к исчислению вероятностей, аксиомы которой устанавливают, как из исходных вероятностей получаются другие вероятности. Все это показывает, таким образом, что дедуктивные умозаключения служат логическим механизмом преобразования информации, который не может превратить истину в ложь, а ложь в истину, а вероятность в невероятность.

Однако логика помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения, которые в отличие от дедуктивных умозаключений мы назовем эвристическими. Термин “эвристика” адекватно характеризует сущность недедуктивных рассуждений, которые ориентированы именно на поиск истины. Соответственно этому к эвристическим методам относятся те методы аргументации, которые основываются, во-первых, на недедуктивных способах рассуждений, во-вторых, используют определенные эвристические принципы для поиска истины. Общая черта, характерная для всех методов эвристической аргументации, — это вероятность их заключений и правдоподобный характер используемых рассуждений. Располагая истинными посылками в правдоподобном рассуждении, мы не можем гарантировать истинность его заключения. Можно поэтому сказать, что их посылки лишь с той или иной степенью вероятности подтверждают заключение. Самым распространенным способом таких рассуждении, известным еще с античной эпохи, является индукция, в которой на основании исследования определенного числа элементов определенного множества объектов, делается заключение обо всем множестве или по крайней мере о некоторых неисследованных его подмножествах или элементах. В науке такой процесс переноса известного знания на неизвестные случаи называют экстраполяцией, а в статистике — заключением от образца к популяции или, как принято в нашей литературе, — от выборки к генеральной совокупности. В связи с указанными соображениями можно рассматривать заключение от выборки к генеральной совокупности как статистическую индукцию.

Другим видом эвристических, или вероятностных, рассуждений является аналогия, основанная на сходстве некоторых признаков двух или нескольких объектов, причем это сходство используется для экстраполяции определенных признаков одного или нескольких объектов на другой объект. Очевидно, что заключение аналогии в принципе тоже будет всегда лишь вероятным, но не достоверно истинным. То же самое следует сказать о статистических обобщениях.

Различие между дедуктивными, или демонстративными, рассуждениями и рассуждениями эвристическими, или недемонстративными, можно представить наглядно в виде соответствующих схем. Типичными элементарными схемами дедуктивных рассуждений являются, во-первых, заключение от истинности основания к истинности следствия (modus ponens), во-вторых, заключение от ложности следствия к ложности основания (modus tollens)

В отличие от этого все недемонстративные, или эвристические, рассуждения выражаются гипотетической формой заключения.

2. Эвристические приемы построения математических доказательств   2.1. Эвристический метод построения математических доказательств

 

Начало эвристического метода некоторые видят у Сократа, который путем вопросов наводил слушателя на правильное решение поставленной проблемы. Таким образом он заставлял мыслить слушателя, последовательно подходя к решению ряда более легких проблем Р , Q , R …, от которых зависело решение основной проблемы W. Но при этом следует отметить, что решение этих промежуточных проблем Р , Q , R …Сократ обычно сам подсказывал, оставляя слушателям продумать подсказанное им решение и убедиться в его правильности. Таким образом, хотя за слушателем и оставалось в некоторой мере самостоятельное мышление, но он двигался несамостоятельно, он, так сказать, все время подталкивался Сократом. В виду этого сократовский метод едва ли можно признать за образец чистой эвристической методы. Эвристический метод в современном смысле требует значительно больше инициативы от учащихся. Кроме того, в его понятие входит и то, на что Сократ не обращал внимания, естественный ход мысли, а именно тот, который вел к открытию изученной истины. Всякий эвристический метод является в настоящее время в некоторой мере и генетическим, но, конечно нельзя утверждать и обратное. Учащемуся предлагается, правда, не исключая некоторых наведений со стороны учителя, проходить тот путь, который прошел или мог пройти открывающий эти истины.

Правильнее искать начало эвристического метода не у Сократа, а гораздо позже – у Руссо в его педагогических взглядах или, лучше сказать, вообще в педагогике его времени, так как он в своем Эмиле отражает общее настроение педагогической мысли его эпохи. Здесь уместно вспомнить и о Л.Бертране, который пытается, впрочем только в начале, применить элементарную математику в том порядке, какой может открываться «охотником». В учебниках конца XVIII и начале XIX века, следуя идеям Руссо, приводится эвристический метод, приводящий к вопросникам и к задачам для самостоятельного решения.

Вне сомнения в дальнейшем методисты охладевают к эвристическому методу. Но увлечение им сыграло большую роль в истории методики математики. Учебники XVII и XVIII веков не содержат, как наши учебники, задачи. Даже наиболее крупный методист Х.Вольф говорит не о самостоятельно решаемых задачах, но о примерах, только иллюстрирующих теорию. Эвристический метод вызывался еще другой педагогической идеей, защищаемой Руссо, выдвигавшим, в противоположность односторонне-объективной ­– односторонне-субъективную методу с формально воспитательным принципом развития способностей. Конечно для этой цели самостоятельное мышление учащегося имела первенствующее значение. Впервые задачи появляются только в конце первой четверти XIX века в учебнике неизвестного методиста Ома.

Никто, конечно, сейчас не будет возражать против необходимости самостоятельной работы учащегося над решением задач. Такая форма эвристического приема является в настоящее время необходимым составным элементом математического образования.

Методическая проблема ставится только о том, следует ли, и если следует, то в какой мере употреблять эвристический метод при изучении основного материала изучаемого предмета и затем – в какой форме следует употреблять эвристические приемы при решении задач в классе?

Здесь, прежде всего, следует согласиться с тем, что при первом изложении доказательств или решения задачи эвристический метод является совершенно неподходящим.

В самом деле, он обращается в индивидуальное обучение ученика. Ученик, отвечая на вопрос, не будет вместо учителя обучать класс. Последний не в состоянии выдержать внимание, идущее за изложением учащегося, корректируемым учителем.

Сама идея, что метод изложения должен совпадать с порядком открытия, неправильна. При всяком открытии идут ощупью, причем через ряд ошибок, которые исправляются, и при этом руководятся аналогией и индукцией. Самый процесс закулисной мыслительной работы совсем иной, чем тот, по которому следует вести ученика. Энциклопедисты XVIII в много говорили о происхождении, но сами обладали очень плохим историческим чутьем и их дикари, а также греки и римляне очень далеки были от настоящих. Все их представления о том процессе, который ведет к открытиям, строились априорно, а не как выводы из психологического анализа систематически накопленного материала[8].

Но следует идти дальше. Первое изложение доказательств не только не должно вестись учеником вместе с учителем, но оно и не должно прерываться обращением ко всему классу. Все должно быть излагаемо систематично и во вполне обработанном виде. Ясно, что изложение может быть только синтетическим. Таким образом вместе с тем решается и вопрос о синтезе и анализе.

Только тогда, когда учитель может с основанием предположить, что изложенное в обработанной синтетической форме усвоено учащимся, он может привлечь учащегося к самостоятельному мышлению. Оно может тогда носить чисто уже аналитический характер, т.е. учитель может в некоторой мере разъяснять учащемуся, почему он поступает так, а не иначе, что должно наводить на мысль провести такие-то прямые или описать такие-то окружности. Я думаю, что это является более полезным, чем воспроизведение доказательства одним из учащихся, что в большинстве случаев, конечно, не вполне удается. Для всего класса это едва является очень полезным, так как и здесь за изложением ученика класс не в состоянии следовать и изложение это ни в коем случае не служит ни к большему разъяснению хода доказательства, ни к закреплению его в памяти.

При вторичном проведении доказательства, эвристические приемы уже вполне допустимы, но не в отношении одного ученика, вызванного к доске, а всего класса. Учитель может в своем изложении вставлять обращение к некоторым определенным ученикам, им избранным, или к тем, которые выявятся при вызове учителя на ответ по предлагаемому им вопросу. Но только по получении ответа из класса учителем, следует продолжать изложение так, как если этого ученического ответа не было, т.е. следует ответ формулировать самому учителю в вполне отделанной и точной форме.

Какова роль учителя при решении классных задач у доски? Эта методическая проблема вовсе не так проста, как это кажется на первый взгляд. Предоставить все ученику, даже хорошему, если только задача не решается по трафарету, представляет ошибку.

Но ошибочным является также все брать на себя и превращать ученика в автомат, воспроизводящий на доске ход мышления учителя. Очевидно здесь приходится выбирать золотую середину.

Следует считаться с тем, что ученик у доски, должен обнаружить в ограниченное время догадку, что не всегда можно требовать не только от среднего, но и от хорошего ученика, не быстро соображающего. Учитель же не должен просто подсказывать, а должен наводить и в этом наведении должно обнаруживаться методическое искусство учителя. Только в том случае, когда намеки определенно не дают результатов, можно прибегнуть к подсказке. И здесь тоже не должно все ограничиваться учеником. Учитель должен сам повторять решение; только в этом случае решение сможет быть усвоено всем классом.

Перед первой империалистической войной вошло в моду в школе то, что называли анализом решения задач, т.е. изложение по существу психических мыслительных процессов, приводящих к излагаемому решению.

В письменных работах на аттестат зрелости в Варшавском Округе за 1914 год эта часть оказывалась уродливо раздутой, в то время , как в самом решении обычно выпадало существенное – доказательство правомерности вспомогательных построений. Я считаю, конечно, все это методической ошибкой, при неправильном понимании эвристического метода.

Письменные работы должны содержать только окончательную обработку решения, что же касается закулисной мыслительной работы, то полностью её и нельзя изложить, а если стараться её изложить возможно подробней, то для более трудных задач приходится излагать нахождение путем аналогии и индукции не только правильных путей, но и также и неверных, с которых приходится сходить.

Ученик должен в письменной работе дать готовую постройку, а не давать её в лесах, которые, как это произошло в упомянутых работах, закрывали все здание. Я думаю, что аналитический элемент должен быть только в изложении вторичных доказательств теорем и решений задач, излагаемых не учеником, а самим учителем.

К числу эвристических приемов принадлежит и предоставление ученику разыскания ошибок в решении задач и в доказательствах, проводимых товарищем.

Конечно, прием неправильного решения, развитого учителем, с предложением указать ошибку, является с педагогической точки зрения не приемлемым, так как может родить недоверие к учителю и ученик будет подозревать ошибки и в других местах изложения учителя.

Но, правда в некоторой ограниченной мере допустимо предложение ученикам задач с противоречащими условиями или с недостающими данными, и в том и в другом случае неразрешимых. Но при этом возможны два приема: 1) подчеркнув, что задача и в первом и во втором случае неразрешима, предложить разъяснить причину этому; 2) просто предложить такую задачу и поставить ученика в тупик и потом уже поставить вопрос о разрешимости. Из этих приемов следует предпочесть, конечно, первый.

2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем

Методика обучения доказательству в математике (при преподавании математике в школе) рекомендует как можно раньше приобщать школьников к самостоятельному открытию фактов и способов их обоснования, хотя у учащихся еще нет даже самого простого представления о процессе доказательства, его составляющих. Само требование «доказать» не вызывает у них нужных ассоциаций. Процесс самостоятельного поиска доказательства основывается на ряде логических и эвристических операций, многими из которых учащиеся 6–7-х классов не владеют. Поэтому на первых уроках геометрии 7-го класса следует воспользоваться готовыми доказательствами с целью изучения структуры логического вывода (наличия большой посылки, малой посылки), связей логических шагов. Для достижения этой цели можно воспользоваться специальными карточками с двумя колонками, в одной из которых указываются утверждения, в другой — обоснования, причем каждая колонка имеет пустые места, количество которых зависит от способностей школьника, заполняющего пропуски в колонках. Ясно, что сказанное не отменяет эвристического обучения и приобщения учеников к открытию доказательств. Однако самостоятельное доказательство должно основываться на понимании готового доказательства, порядка, что ведет к формированию устойчивых математических образов.

Учитывая, что у ученика с его взрослением развиваются пространственные представления об окружающем мире, приобретающие форму устойчивых образов реальных объектов, изучение элементов геометрии в 5–6-х классах естественно должно основываться на идее фузионизма (слияния); однако эта идея не должна быть стержневой. В основной школе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в старших классах — курс стереометрии. Заканчивать изучение геометрии в средней школе следует знакомством школьников с аксиоматическим методом не только как методом организации математической теории, но и как эффективным эвристическим средством, а также выходом в геометрию четырехмерного пространства. Известно, что необходимость систематических курсов оспаривается некоторыми математиками и методистами. Они предлагают, в частности, единый курс планиметрии и стереометрии. Однако такой курс построить на достаточно строгом логическом уровне в основной школе невозможно. Такой курс будет представлять собой набор различных фактов, поэтому мера порядка его организации будет невысокой, а потому будет низкой и мера привлекательности такого курса для учащихся, что, несомненно, будет отражаться на их интересе к изучению такого курса, а следовательно и на знаниях и умениях школьников.

Необходимость учета зависимости меры красоты и привлекательности объекта от порядка и меры усилий на его понимание подтверждает и природа распознавания объектов: на уровне свернутого выполнения действий распознавание осуществляется не по логическим признакам, а по внешне выраженным, наглядным признакам используемых объектов. «Идеальный» вариант возникает тогда, когда определение понятия позволяет воображению легко конструировать образы определяемых объектов. В данном контексте, например, наиболее привлекательным среди возможных определений параллелограмма является классическое определение, так как оно в большей мере соответствует имеющемуся в мышлении ученика образу параллелограмма.

Известны многолетние дискуссии по вопросу использования алгебраического метода решения текстовых задач. Одни участники дискуссий выступают за раннее введение метода уравнений, другие считают, что основное внимание в начальной школе и в 5–6-х классах должно уделяться арифметическому методу.

С позиции красоты вряд ли будет казаться привлекательным для ученика 5-го класса решение текстовой задачи с применением уравнений или доказательство теоремы методом «от противного», потому что рассуждения, осуществляемые в процессе решения задачи либо в доказательстве теоремы, не будут для ученика естественными. Хотя текстовые задачи привлекательны для школьников, поскольку они отражают реальные ситуации, хорошо знакомые им[9].

Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач, которая «неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности». Поэтому использование текстовых задач в обучении математике на ранних этапах необходимо, однако спешить с применением уравнений при их решении не следует. Последнее предполагает ряд таких умений (моделировать словесно заданные ситуации, выражать заданные величины одну через другую и т. д.), которые как раз и формируются при решении текстовых задач арифметическим способом[10]. Ученик, овладевший хотя бы некоторым опытом решения текстовых задач арифметическим методом, при встрече с алгебраическим методом будет, в какой-то мере, удивлен оригинальностью суждения при его использовании, и эта неожиданность будет усиливать привлекательность алгебраического метода.

Анализируя учебники геометрии для основной школы, можно увидеть, что метод «от противного» используется при решении задач уже на первых уроках геометрии, хотя учащиеся еще не осознали смысл прямого обоснования. Поэтому в такой ситуации применение этого метода может вызвать лишь неприязнь к изучению геометрии. Последнему будет способствовать и неопределенность требований первых задач курса геометрии.

Как уже было отмечено, важной характеристикой меры красоты является порядок, который выступает в различных формах. Наиболее распространенной из них является симметрия. Причем речь идет не только о симметрии как гармонии частей целого, их упорядоченности, но и как осознании стройности математических доказательств. Поэтому наиболее привлекательными для учащихся являются изящные доказательства. Отметим и такие характеристики красоты математики, как возможность влияния на дальнейшее продвижение в той или иной области на основе аналогии и обобщения, богатство возможных приложений как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность.

Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируются определенные образы, бессознательно «ждущие» встречи с соответствующими объектами. Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется, это переживается как красота. В ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его корковую модель, но не укладывается в нее полностью, возникает удивление и связанный с ним познавательный интерес. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове. В связи со сказанным, в обучении важно использование различных рисунков к доказательству теоремы, упражнений на распознавание объектов, принадлежащих формируемому понятию, различных способов доказательства, самостоятельного открытия теорем, оригинальных способов решений, укрупнения единиц, чертежей с одной основой, аналогичных задач, блоков «родственных» задач и т. д. Все это непосредственно связано с красотой, с механизмами эстетического воспитания школьников средствами математики, с выработкой эстетического вкуса путем формирования стандартов (устойчивых математических образов).

Рассмотрим конкретные примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На его гипотенузе AC (вне его) построен квадрат ACDE с центром O. Доказать, что луч BO является биссектрисой угла ABC.

Возможно, что кто-то из учащихся, решавших эту задачу, и предложит один из способов ее решения. Однако может оказаться, что таких учащихся не найдется. В таком случае можно предложить рассмотреть частный случай, обусловленный тем, что треугольник ABC будет прямоугольным и равнобедренным. Чертеж, иллюстрирующий данную ситуацию, будет более привлекателен для учащихся, так как его восприятие в большей мере соответствует их житейским образам. Поэтому к такому рисунку будет проявлено большее любопытство.

Рисунок 1

Легко заметить, что фигура на рис.1 симметрична относительно прямой BO. Этот факт легко может быть и обоснован: точка B равноудалена от точек A и C, следовательно, она принадлежит оси симметрии этих точек. Аналогично, этой же оси симметрии принадлежит и точка O. Значит, прямая BO — ось симметрии четырехугольника ABCO, а потому луч BO является биссектрисой угла B. Ясно, что обоснование доказываемого утверждения может быть выполнено и другим способом.

Устанавливаем, что четырехугольник ABCO — квадрат, около которого можно описать окружность. По отношению к ней углы ABO и OBC являются вписанными, опирающимися на равные дуги AO и OC (рис. 2). Легко заметить, что перемещая точку B по окружности (рис. 3), приходим к рис. 4, который и соответствует данной задаче. Частный случай подсказал способ ее решения. Ясно, что идея симметрии в общем случае не срабатывает, однако она наталкивает на идею использования поворота вокруг точки O на 90°.

Рисунок 2

Рисунок 3

Пусть это будет поворот по часовой стрелке. Он переведет прямую AB в прямую BC, поскольку точка A перейдет в точку C, а прямая AB — в прямую, проходящую через точку C перпендикулярно к AB, то есть в прямую BC. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB и BC, а потому принадлежит оси симметрии угла ABC.

Решив данную задачу, следует обратить внимание учащихся на эвристики:

1) если в задачной ситуации имеется два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, то полезно для решения задачи ввести окружность, описанную около этих треугольников;

2) если в условии задачи даны две взаимно перпендикулярные прямые либо квадрат, то для ее решения можно воспользоваться поворотом вокруг центра квадрата на 90°.

Далее можно предложить рассмотреть случай, когда квадрат, построенный на гипотенузе AC, содержит точку B. В зависимости от уровня подготовленности класса можно продвинуться и далее. Например, прямоугольный треугольник можно заменить двумя взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через соседние вершины квадрата. Можно предложить учащимся составить несколько аналогичных задач, заменив квадрат, например, правильным треугольником. В этом случае две взаимно-перпендикулярные прямые должны быть заменены двумя прямыми, проходящими через соседние вершины треугольника и образующими угол в 120°. Указанная задачная ситуация может быть обобщена на правильный шестиугольник и т. д.

Рисунок 4

Можно заметить, что исследование задачной ситуации с использованием обобщения, конкретизации и аналогии способствует созданию обобщенного образа этой ситуации, особенно в том случае, когда она является опорной, то есть используемой в большинстве задач изучаемого раздела. Встреча учащихся с рисунком, который отложился в памяти ученика, вызовет те ассоциации, которые были связаны с ним ранее и могут продвинуть решение задачи. Наконец отметим и то, что поиск решения задачи осуществляется посредством приема мысленного преобразования исследуемого объекта, что важно, потому что данный прием является эффективным эвристическим приемом в математическом познании. С другой стороны, решение подобных задач формирует сам указанный прием, а также приемы обобщения, аналогии, конкретизации и т. п.

2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∟C = 90°). Построен отрезок CC1 (C1AB), перпендикулярный медиане AA1. Найти отношение BC1 : C1A.

Данная задача интересна тем, что допускает различные способы решения, хотя заключительный этап ее решения не богат возможностями конструирования новых задач. В журнале «Математика в школе» (№ 4/1981, с. 69[11]) приведено пять способов решения задач, однако среди них нет самого простого способа, основанного на использовании координатного метода. Приведем его.

Введем систему координат так, чтобы прямая CA служила осью Ox, прямая CB — осью Oy (луч CA определяет положительное направление оси Ox, а луч CB — оси Oy); за единицу измерения примем длину отрезка AC.

Тогда

где .

Уравнение прямой CC1 имеет вид:а уравнение прямой A1A –

Используя условие перпендикулярности прямых, получаем

Заключительный этап решения задачи обладает большим эстетическим потенциалом и служит хорошим средством формирования мотивации учебной деятельности школьника. Данный этап имеет значительные возможности для приобщения школьников к составлению задач, что связано с исследованием задачной ситуации.