Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой

3. Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Конкретизация задачной ситуации приведет к задаче, в условии которой хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Поскольку в полученной задаче используется частный случай, то решение последней задачи распространяется и на решение полученной. Данная задачная ситуация может быть интерпретирована по-другому: из точки окружности проведен перпендикуляр к ее диаметру. Квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра. Заметим, что конкретизация приводит к ситуации, когда имеется решение задачи, а сама задача должна быть сформулирована.

Обобщение основной задачи приводит к ситуациям:

1) прямые, которым принадлежат хорды, пересекаются вне круга, определяемого данной окружностью;

2) одна из секущих является касательной (предельный случай 1);

3) обе секущие являются касательными.

Далее возможен выход в задачную ситуацию, которую составляют две окружности и хорды каждой из них. Требуется найти такое положение точки пересечения хорд, которое удовлетворяет основной задаче. Возможен выход даже в три окружности, что обусловит уже исследование со всеми его атрибутами.

Привлекательность работы с задачей может быть повышена даже в процессе решения элементарных задач.

Рассмотрим задачу. В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D, AD = DC, ∟A = 40° (рис. 5). Доказать, что AB > BC.

Рисунок 5

Поскольку в треугольнике ABC известен угол A, то сравнение указанных сторон может быть осуществлено посредством сравнения углов, лежащих против данных сторон. На данную эвристику следует обратить внимание учащихся. Однако ее использование требует знания второго угла треугольника — угла C. Рисунок помогает увидеть, что ∟C содержит ∟ACD, равный углу A. Таким образом, ∟C >∟A, следовательно AB > BC.

Ясно, что приведенная задача не обладает возможностями построения на ее основе задач-обобщений, задач-конкретизаций, задач-аналогов и так далее. Однако на ее основе возможно конструирование целой серии задач. Вот требования некоторых из них (условия задач совпадают с условием данной задачи):

«Сформулируйте несколько утверждений, справедливость которых следует из условия данной задачи».

Ответ: 1) ∟ACD=40°; 2) ∟C=80°; 3) ∟B=60°; 4) AC>BC; 5) AC<AB; 6) DC>BD; 7) AB>BC.

Рассмотрим следствие 7). Доказано, что AB>BC. Учитывая, что точка D находится между точками A и B, а AD=AB, то AD+BC>BC и, наконец, DC+DB>BC. Последнее неравенство, как легко заметить, будет справедливым при любой величине угла A и любом положении внутреннего луча CD. Важно лишь то, что AD=DC. Так приходим к обобщенной задаче: «На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что AD=DC. Докажите, что AB>BC». Данное неравенство DC+DB>BC приводит к выводу, что в треугольнике сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Решение данной задачи не только мотивирует введение теоремы о неравенстве треугольников, моделирует ее доказательство, но и обосновывает ее для частного случая.

Сопровождая решение даже таких простых задач указанной работой с ними, мы повышаем их привлекательность и эстетический потенциал. Учащиеся начинают смотреть на задачи как на исследовательские объекты, в которых скрыта гармония и красота математики, наслаждаясь тем, что в процессе работы эти качества математики обнажаются, и красота математики становится для учащихся доступной.

Таким образом, красота математики раскрывается в воспитании склонности школьников к использованию обобщения и аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификации и разнообразным приложениям тех или иных математических фактов и закономерностей, всестороннему анализу изучаемых ситуаций, минимально возможной субъективной сложности, требуемой для достижения того или иного результата, поиску различных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полной логической обоснованности и доказательности, склонности к поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общности исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.

Заключение

В работе в соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:

- рассмотрено понятие доказательства в математике и его особенности;

- рассмотрена эвристика как метод научного познания;

- рассмотрены особенности эвристического подхода в рамках логического;

- рассмотрено применение эвристических логических подходов к построению математических доказательств при изучении математики.

По работе можно сделать следующие выводы:

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

Если все известные методы решения задач разделить по признаку доминирования логических эвристических (интуитивных) процедур и соответствующих им правил деятельности, то можно выделить две большие группы методов:

а) логические методы - это методы, в которых преобладают логические правила анализа, сравнения, обобщения, классификации, индукции, дедукции и т. д.;

б) эвристические методы.

Для того чтобы разобраться более глубоко в том, что понимать под эвристическими методами, следует обратить внимание на то, что метод словесно можно представить в виде некоторой системы правил, то есть описания того, как нужно действовать и что нужно делать в процессе решения задач определенного класса. Из разнообразного набора правил деятельности в решении задач принципиально можно выделить два больших класса предписаний: алгоритмы или алгоритмические предписания и эвристики - эвристические предписания. Если алгоритмы жестко детерминируют наши действия и гарантируют в случае их точного выполнения достижение успеха в решении соответствующего типа задач, то эвристики и эвристические предписания лишь задают стратегии и тактике наиболее вероятное направление поиска идеи решения, но не гарантируют успеха решения.

Эвристикой называют совокупность приемов и методов, облегчающих и упрощающих решение познавательных, конструктивных, практических задач. Эвристикой называют также специальную научную область, изучающую специфику творческой деятельности. Эвристические методы противопоставляются рутинному, формальному перебору вариантов по заданным правилам. В сущности, при решении любой задачи человек всегда использует те или иные методы, сокращающие путь к решению, облегчающие его нахождение. Напр., при доказательстве теорем геометрии мы обычно используем в качестве эвристического средства чертеж; решая математическую задачу, мы стараемся вспомнить и использовать решения других похожих задач; в качестве эвристических средств используются общие утверждения и формулы, индуктивные методы, аналогии, правдоподобные умозаключения, наглядные модели и образы, мысленные эксперименты и т. п.

Использование эвристических подходов при построении математических доказательств помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения. Применение эвристических подходов в математике предполагает использование обобщения и аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификацию и разнообразные приложения тех или иных математических фактов и закономерностей, всесторонний анализ изучаемых ситуаций, минимально возможную субъективную сложность, требуемой для достижения того или иного результата, поиск различных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полную логическую обоснованность и доказательность, склонность к поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общность исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.

Список литературы

1.         Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М., 1970.

2.         Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979.

3.         Беляев Е.А, Перминов В.Я. «Философские и методологические проблемы математики», МГУ, 1981, - 214 с.

4.         Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.

5.         Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — // Математика в школе, № 2/1982, с. 40–43.

6.         Заесенок В. П. Эвристические приемы решения логических задач // Математика в школе. - 2005. - N 3.

7.         Калошина И.П., Миничкина Н.В. Логические приемы мышления как условие самостоятельной разработки студентами способов доказательства теорем. - В кн.: Подготовка учителя математики в университете. Саранск, 1984, c.22 - 33.

8.         Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1978. - 128 с.

9.         Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967.

10.      Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.

11.      Миничкина Н.В. Формирование логических приемов мышления как условия самостоятельной познавательной деятельности студентов. - Дис. ... канд. пед. наук. Саранск, 1984.-268 с.

12.      Писаревский Б. М. Задачи по стереометрии. Правильная пирамида // Математика в школе. - 2005. - N 3.

13.      Саранцев Г.И.Обучение математическим доказательствам в школе: Книга для учителя. – М.: "Просвещение" – 2000. - 173 с.

14.      Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979.

15.      Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001.

16.      Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе», 1981. - № 4/1981, с. 69

[1] Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979. – с. 111

[2] Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979. – с. 48-49.

[3] Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967. – с. 84.

[4] Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979. – с. 63.

[5] Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977. – с. 54.

[6] Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — // Математика в школе, № 2/1982, с. 40–43.

[7] Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001. – с. 87

[8] Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе», 1981. - № 4/1981, с. 69

[9] Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967. - с. 88

[10] Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001. – с. 88

[11] Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе», 1981. - № 4/1981, с. 69