Примеры

7. Примеры

Пример 1.

Найти решение дифференциального уравнения x(t)4x(t)5x(t)0,

удовлетворяющее условиям x(0) 0, x(0) 1.

Решение. Запишем уравнение в изображениях

Вынесем Х за скобки

Найдем оригинал используя выведенные ранее значения в таблице приложения:

искомое решение -

Пример 2.

Решить дифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.

Решение

 

Пример 3.

Решить дифференциальное уравнение y`+y=e^t, y(0)=0.

Решение

Перейдем к уравнению

 

Пример 4.

Найти решение уравнения  при начальных условиях y(0)=-1, y`(0)=0.

Решение

Пусть , тогда ,  .

Тогда

  - изображающее уравнение. Отсюда

Оригинал для правого слагаемого известен , а оригинал для  удобнее найти по теореме свертывания.

Известно, что , поэтому

Так как , то

Таким образом,

Пример 5.

Найти общее решение уравнения .

Решение

Для получения общего решения начальные условия зададим так:

y(0)=C₁, y`(0)=C₂

Если , то ,

.

И изображение уравнения имеет вид

Отсюда

Согласно приложению

,

Собирая оригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p), получаем искомое решение:

если .

Пример 6

Операционный метод может быть применён для решения нестационарных задач математической физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.

Для уравнения теплопроводности будем решать краевую задачу:

a²=const, u(x,0)=φ(x) - начальные условия и u(0,t)=ψ₁(t), u(l,t)=ψ₂(t), 0 ≤ x ≤ l – краевые условия.

Пусть все функции являются оригинальными. Обозначим

 - изображение по Лапласу.

Тогда

Тогда краевые условия:

Уравнение в изображениях:

Библиографический список.

1.         Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.

2.         Белослюдова В.В., Дронсейка И.П. Специальные разделы математики.Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной. Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей 050702, 050716 / ВКГТУ. – Усть – Каменогорск, 2006.