Особливі точки рівняння

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни „Диференціальні рівняння"

на тему „Особливі точки”

Виконавець: студентка групи

Назаренко Олеся

Перевірив:

м. Дніпропетровськ 2010 р.

Зміст

1. Особливі точки

2. Задача 1

3. Задача 2

4. Задача 3.

5. Задача 4

1. Особливі точки

Особливою точкою системи

 (1)

або рівняння

 (2)

де функції  й  неперервно диференційовані, називається така точка, в якій .

Для дослідження особливої точки системи

 (3)

або рівняння

 (4)

треба знайти розв’язок характеристичного рівняння

 (5)

Якщо розв’язки  дійсні, різні  й одного знаку , то особлива точка - вузол (рис.1, а), причому стійкий, якщо  й нестійкий, якщо .

Вузол характеризується тим, що всі траєкторії, крім однієї II, мають у точці (0,0) загальну дотичну I, що сама є траєкторією. Прямі I і II спрямовані вздовж власних векторів матриці , які відповідають  і , причому пряма I відповідає меншому за модулем з  і .

При  вузол є стійкою точкою спокою. На рис.1а стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні  у випадку стійкого вузла. Якщо , то вузол нестійкий і стрілки заміняються на протилежні.

Рис.1. Типові траєкторії [2]

Якщо розв’язки  дійсні, різні  й різних знаків , то особлива точка - сідло (рис.1, б). Сідло є нестійкою точкою спокою.

Сідло характеризується наявністю двох траєкторій I і II, що проходять через (0,0) також у напрямку власних векторів. Пряма I є асимптотою для інших траєкторій при , а II є асимптотою при . Прямолінійна траєкторія I розташована за напрямком власного вектора, що відповідає додатньому , а прямолінійна траєкторія II за напрямком власного вектора, що відповідає від‘ємному . Прямі I і II називаються сепаратрисами сідла. На рис.1б стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні . Сепаратриса II є єдиною траєкторією, якій відповідає розв’язок, що прямує до 0 при . Тільки дві траєкторії I і II є прямолінійними. Інші траєкторії криволінійні й зі зростанням  йдуть із  в . Сепаратриси I і II розділяють фазову площину на 4 області, у яких лежать криволінійні траєкторії.

Якщо розв’язки  комплексні з дійсною частиною , відмінною від нуля, то особлива точка - фокус (рис.1, в), причому стійкий, якщо  й нестійкий, якщо . На рис.1в стрілками показаний напрямок руху при зростанні  у випадку стійкого фокуса.

Зауваження. У випадку фокуса траєкторії можуть бути закручені навколо (0,0) у різних напрямках. Для того, щоб визначити напрямок закручування, досить обчислити вектор швидкості  в якій-небудь точці, наприклад, в (0,1). Аналогічно досліджується напрямок руху у випадку центра й виродженого вузла.

Якщо розв’язки  комплексні чисто мнимі (), то особлива точка - центр (рис.1, г). Центр є стійкою, але не асимптотично стійкою точкою спокою.

Якщо розв’язки рівні й ненульові (тобто ), то особлива точка може бути виродженим вузлом (рис.1, д) або дикритичним вузлом (рис.1, е), причому дикритичний вузол має місце тільки у випадку системи  (або рівняння ), а у всіх інших випадках при  особлива точка є виродженим вузлом. У випадку виродженого вузла всі траєкторії дотикаються однієї прямої, спрямованої вздовж єдиного власного вектора, що відповідає . Дикритичний вузол може бути стійким  і нестійким .

Якщо ж один або обидва розв’язки рівняння (5) дорівнюють нулю, то , і, отже, дріб у правій частині рівняння (4) скорочується. Рівняння набуває вигляду , і розв’язок на площині XOY зображуються паралельними прямими.

 

2. Задача 1

 

Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:

 

 

Розв’язання.

Для дослідження особливої точки рівняння

треба знайти розв’язок характеристичного рівняння

У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння

і розв’язуємо його відносно

Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки.

Отже, особлива точка (0,0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.