Перший спосіб побудови інтегральних кривих

1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.

Власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння

значення .

Власний вектор (2;

1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .

Далі, власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння

значення .

Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .

На площині  будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (2;

1) і (1; - 1), а потім будуємо параболи й вказуємо напрямок руху по траєкторіях.

2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.

Прямі, що містять фазові криві системи, шукаємо у вигляді .

Підставляючи  у вихідне рівняння

,

одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта :

Виходить, що  і  - шукані прямі.

Фазові криві - частини парабол, що дотикаються на початку координат прямої . Параболи дотикаються саме прямої , оскільки власний вектор (2;

1) матриці коефіцієнтів даної системи, що відповідає власному числу , паралельний прямій .

3. Напрямок руху по траєкторіях.

Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці  вектор швидкості . Наприклад, у точці  вектор швидкості дорівнює

,

а в точці  вектор швидкості

.

Приблизний вигляд сім’ї фазових кривих зображений на рисунку 3.

Рис.3. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]

 

4. Задача 3.

 

Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:

 

Розв’язання.

Для дослідження особливої точки системи

треба знайти розв’язок характеристичного рівняння

У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння

і розв’язуємо його відносно

Розв’язки характеристичного рівняння комплексні й різні.

Отже, особлива точка (0,0) - стійкий фокус ().

Напрямок руху по траєкторіях.

Для з'ясування напрямку закручування інтегральних кривих (спіралей) будуємо вектор швидкості  в точці (1,0):

Отже, спаданню  відповідає рух по спіралях за ходом годинникової стрілки. При русі за ходом годинникової стрілки інтегральні криві наближаються до початку координат (0,0).

Приблизний вигляд сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 4.

Рис.4. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]

 

5. Задача 4

 

Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:

Розв’язання.

Для дослідження особливої точки системи

треба знайти розв’язок характеристичного рівняння

У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння

і розв’язуємо його відносно

Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки. Отже, особлива точка (0, 0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.