Выберите неверное утверждение

2. Выберите неверное утверждение.

а) объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания на высоту;

б) объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле , где а – ребро тетраэдра;

в) объем усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади основания равны S и M, вычисляется по формуле

г) объем правильной треугольной пирамиды, ребро которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом , вычисляется по формуле ;

д) объем правильной шестиугольной пирамиды, ребро которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом , вычисляется по формуле .

3. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 3 см² и 12 см², а высота равна 2 см.

а) определить нельзя; б) 7 см³; в) 42 см³; г) 14 см³; д) 56 см³.

4. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объем пирамиды, если МВАВС и МВ = 10 см.

а) 300 см³; б) 260 см³; в) 780 см³; г) определить нельзя; д) см³.

Углубленное изучение геометрии по учебнику [6]

Рассмотрим методические рекомендации для углубленного изучения темы «Объемы многогранников». В настоящее время для данного обучения в школах используют учебник [6], так как именно он рекомендован (допущен) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях. Теоретический материал учебника разбит на две части – основную и дополнительную. Основная часть содержит теоретические сведения (аксиомы, определения, теоремы); материал, в котором рассказано о значении наиболее важных геометрических результатов, о различных применениях стереометрии в других науках, технике, искусстве, быту, об истории геометрии.

В дополнительном материале с большей глубиной и подробностью обсуждаются самые трудные вопросы курса. Этот материал рассчитан на учащихся, особенно интересующихся математикой.

Глава V данного учебного пособия посвящена объемам тел многогранников. Эта глава традиционная для школьного курса геометрии. И построение ее как будто бы традиционное: сначала выработка общего понятия, затем вывод конкретных формул. Однако есть и характерные отличия.

1.         Четко выясняется множество фигур, которые имеют объем в смысле данного определения.

2.         Впервые в школьном курсе (и в такой формулировке) дается теорема о существовании и единственности объема.

3.         Теорема о представлении объема интегралом рассмотрена с помощью наглядных соображений, так как полное доказательство «сложно и требует расширения понятия интеграла», однако рассуждение приведено тактично и не нарушает уверенности ученика в возможность доказать это утверждение.

4.         В данном учебнике выводится формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда.

Объем прямого цилиндра

В пункте 26.1 высказаны наглядные соображения, «доказательство математического утверждения с точки зрения физики». С учетом уровня класса можно предположить несколько вариантов дальнейших событий:

а) этим и ограничиться;

б) предложить желающим разобрать пункт 26.2 самостоятельно и ответить индивидуально на оценку;

в) предложить отдельным учащимся сделать сообщение о теореме на уроке. (Для этого теорему можно разбить на 4-5 частей);

г) предложить учащимся разобраться в теореме самостоятельно, а учитель организует по ней семинар в классе;

д) доказать теорему и попросить повторить «сильных» учеников на следующем уроке. И т. д.

 

Представление объема интегралом

С точки зрения методической представляется более удобным дать формулировку теоремы после доказательства, а сам вывод разбить на четыре части, примерно соответствующие бытовавшему когда-то алгоритму вывода формул и теорем дифференцирования:

1) х; 2) V; 3) ; 4) V^’(x).

Первый способ рассуждения в теореме более аналитичен, а второй наглядный, и здесь можно «задействовать» теорему о сжатой переменной.

 

Объемы некоторых тел

Содержание параграфа – независимый вывод формул объемов четырех конкретных видов тел. При желании этот набор можно дополнить выводом формул объемов усеченного конуса (пирамиды) и шарового сегмента. Это позволяет провести с учениками групповую работу. Схема проведения таких работ состоит из нескольких этапов.

I этап. Класс разбивается на группы по шесть человек. Каждому участнику группы дается задание изучить вывод одной из формул (естественно, задания всем в группе различные). Четыре ученика учат пункты § 27, а двое получают от учителя тексты, где выводятся формулы объемов усеченного конуса и шарового сегмента. (Учитель может заменить их другими формулами или вообще не давать других формул, но тогда группа уменьшается до четырех человек и меняется время дальнейшей работы.) Изучив соответствующую теорему, ученик записывает ее в конспект и отыскивает ученика из своей группы, также закончившего запись. Они рассказывают друг другу каждый свою теорему, записывая коротко вывод в конспекте. После этого каждый из них задает вопросы другому и отвечает на его вопросы. После этого пара «распадается», и каждый снова ищет свободного участника своей группы и т. д. На все это уходит два часа. На дом ученики получают задание вывести оставшиеся формулы.

II этап. Продолжается работа в тех же группах (это уже следующий урок геометрии). Однако правила меняются. Теперь каждый получает задание спрашивать вывод какой-то одной из шести формул объема и отвечает спрашиваемому соответственно одну из четырех формул (кроме той, что объяснял на том уроке, и той, что сам спрашивает). За ответ он ставит оценку. На это уходит 1 час.

III этап. И наконец, учитель может на следующем (уже четвертом) уроке вызвать по 1-2 представителя от каждой группы, чтобы по жребию ответить у доски одну из теорем (можно добавить и формулы из домашнего задания). Остальные группы при этом слушают, рецензируют, задают вопросы, добавляют. В итоге каждый ученик оценивается по четырем позициям: 1) запись в конспекте, 2) оценка при ответе товарищу, 3) ответ представителя из группы, 4) качество вопросов и рецензий.

Элемент случайности приносит дополнительную ответственность, игровой момент и компенсируется остальными составляющими оценки [22].

Глава 3. Опытное преподавание

Одним из методов научного исследования наиболее подходящим для изучения и анализа интеллектуального развития группы учащихся является педагогический эксперимент. В ходе его проведения предстоит выяснить, каким образом факультативные занятия влияют на изменение умственного, логического, абстрактного мышления.

В период прохождения педагогической практики в МОУ СОШ с. Сырьяны мною были разработаны факультативные занятия для учащихся 11 класса по теме «Объемы многогранников». В дальнейшем данными конспектами воспользовались учителя для преподавания в своих классах. Кроме конспектов уроков была разработана система заданий для контроля знаний учащихся (самостоятельные и контрольные работы, тесты) [15], [20],[26], [35].

Эксперимент проводился в ПТУ № 16 г. Белая Холуница в группах С‑21 и С-22. Эти группы сформированы на базе 9-летнего образования из учащихся города и района. На первом курсе они изучили материал 10-11 классов (по учебнику Л. С. Атанасяна), а на втором предполагалась углубленная работа по некоторым из тем пройденного курса. На момент проведения занятий ученики были знакомы с понятиями многогранника, объема многогранников, телами вращения.

На первом занятии учащимся была предложена самостоятельная работа, в которую были включены вопросы, охватывающие исследуемую тематику.

 

Работа №1

Задача 1.1: Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого равны 24 см и 10 см. угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45⁰. Вычислите объем параллелепипеда.

Задача 1.2: Основанием пирамиды МАВС с равными боковыми ребрами является прямоугольный треугольник. Его гипотенуза АВ равна с, ВАС=. Угол между плоскостями основания и грани МАС равен . Вычислите объем пирамиды.

 

Задача 1.3: В шаре радиуса R высверлена коническая воронка, ось которой совпадает с диаметром шара. Найдите объем оставшейся части шара, если угол при вершине в осевом сечении воронки равен .

В эксперименте приняли участие 20 человек. В ходе проверки и обработки данных получены следующие результаты:

№ задачи	1		2		3
Количество учащихся	20	100%	20	100%	20	100%
Сделали чертеж	20	100%	20	100%	17	85%
Не решили задачу	3	15%	7	35%	12	60%
Ход решения верный, но допущена ошибка	4	20%	5	25%	5	25%
Решили верно	13	65%	8	40%	3	15%

Таким образом, уровень знаний учащихся по данной теме различен. При этом полностью справились с работой 3 человека, решили две задачи из трех – 5 человек, не справились с работой – 7 человек, остальные 5 решили одну задачу. Наиболее четкое представление учащиеся имеют о многогранниках, о способах вычисления их объема. У некоторых учеников возникли проблемы с построением чертежа, с применением правильной формулы при решении. Встретилось много вычислительных ошибок. Хотя у учеников высокий средний балл успеваемости по геометрии. Это говорит о том, что этот материал не был доведен до навыка и данной теме не уделено должного внимания.

На занятиях они изучали различные методы нахождения объемов, рассматривались новые формулы их вычисления, не выводимые в основном курсе, но знание которых требуется при решении задач, искали рациональные пути решения. Обращалось внимание и на построение чертежей по заданному условию с учетом того, чтобы изображение получилось наглядным и более простым для восприятия. Были рассмотрены дополнительные задачи, систематизированы ранее изученные понятия и включены во взаимосвязь с новыми фактами, обучение проводилось по темам, предложенным мною для факультативного изучения (Приложение 8, приложение 9).

В конце изучения была проведена самостоятельная работа, которая включала в себя задачи на применение изученных формул, фактов, методов.

 

Работа №2

Задача 2.1: Основанием прямой призмы является треугольник АВС, в котором АВ=АС=17 см, ВС=8 см. Угол между плоскостью основания и плоскостью, содержащей ребро ВС и вершину А₁, равен 30⁰. вычислите объем призмы.

 

Задача 2.2: Основанием пирамиды является ромб, большая диагональ которого равна 2d, а острый угол . Угол между плоскостями основания и каждой боковой гранью равен . Вычислите объем пирамиды.

Задача 2.3: Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит конус на 2 равновеликие части. Найдите угол между образующей конуса и его высотой.

В эксперименте приняли участие 20 человек. В ходе проверки и обработки данных получены следующие результаты:

№ задачи	1		2		3
Количество учащихся	20	100%	20	100%	20	100%
Сделали чертеж	18	100%	20	100%	19	95%
Не решили задачу	6	30%	0	0%	3	15%
Ход решения верный, но допущена ошибка	6	30%	5	25%	7	35%
Решили верно	8	40%	15	75%	10	50%

По результатам второй самостоятельной работы можно сделать вывод, что тему объемов нужно изучать более глубоко и последовательно, чтобы овладеть методами вычисления и получить достаточно знаний для их реализации. По итогам этого исследования складывается следующая картина: с работой успешно справились 6 человек, столько же решило две из трех задач, по одной задаче осилили 4 человека, не справились с работой 4 ученика. Не смотря на это, можно наблюдать положительную тенденцию. Если при выполнении первой работы у некоторых несправившихся не было даже идей для решения, то во второй раз таких не оказалось (они не справились с работой по причине невнимательности, допускали вычислительные ошибки). Среди решивших две задачи из трех оказались и «слабые» ученики, что особенно порадовало. На мой взгляд, это хороший показатель, так как за достаточно короткий промежуток времени были достигнуты неплохие результаты. Учащиеся показали владение методами решения задач, применяли изученные ранее факты и обобщения теорем. Нельзя не отметить и повышение интереса (особенно среди мальчиков), в результате чего учащиеся стали просить задачи потруднее. Следовательно, времени отводимого на изучение этой темы, явно не достаточно, а при систематическом изучении можно добиться усвоения материала на более высоком уровне. На наш взгляд, в общеобразовательной школе целесообразно дополнить изучение объемов тел на уроках занятиями по теме в рамках факультативных и других внеклассных занятий.

Заключение

 

Тема «Объемы многогранников» одна из сложных, но в то же время нужных тем в курсе 10-11 классов. В ней собрано и обобщено много знаний из планиметрии и стереометрии.

В ходе исследования были решены следующие задачи:

1.      Проанализированы учебная программа и учебники по стереометрии и выявлено, что из большого разнообразия наиболее адаптированным учебником для общеобразовательных школ является учебник [7].

2.      Рассмотрены различные подходы к определению понятия объема многогранника и определено, что целесообразно использовать конструктивный способ для введения понятия.

3.      Учитывая основные цели изучения темы «Объемы многогранников», разработана методика ее изучения.

4.      Для решения вопросов, которые требуют более глубокого изучения, составлен факультативный курс по данной теме.

5.      Проведено опытное преподавание с целью апробации разработанной методики.

В ходе опытного преподавания получила подтверждение теоретическая гипотеза. Цель исследования была достигнута.

Библиографический список

 

1. Антоновский, М. Я. Формирование понятия объема в 4 классе [Текст] / М. Я. Антоновский, В. Г. Болтянский // Математика в школе. – 1970. – №4. – С. 15.

2. Александров, А. Д. О геометрии [Текст] / А. Д. Александров // Математика в школе. – 1980. – №3. – С. 56.

3. Бескин, Л. Н. Стереометрия [Текст]: кн. для учителя / М.: Просвещение, 1960.

4. Борисов, Н. И. Как обучать математике [Текст]: пособие для учителя / М.: Просвещение, 1979.

5. Долбинин, Н. П. О необходимости курса наглядной геометрии в младших классах [Текст] / Н. П. Долбинин, И. Ф. Шарыгин // Математика в школе. – 1990. – №6. – С. 19.

6. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для общеобразовательных учреждений [Текст] / Александров А. Д. [и др.] – М.: Просвещение, 1998.

7. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для общеобразовательных учреждений [Текст] / Л. С. Атанасян [и др.] – М.: Просвещение, 2003.

8. Геометрия 7-11 кл. сред. шк. [Текст] / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение,1991.

9. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для ест.- научного профиля [Текст] / И. М. Смирнова [и др.]. – М.: Просвещение,2003.

10. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для гуманитарного профиля [Текст] / И. М. Смирнова [и др.]. – М.: Просвещение, 2001.

11. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для общеобразовательных учебных заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа,1999.

12. Гусев, В .А. Дидактические материалы по геометрии для 10 кл. [Текст]: пособие для учителя / В. А. Гусев. – М.: Просвещение, 1979.

13. Глаголев, Н. А. Элементарная геометрия: стереометрия для 10-11 кл. ср. шк. [Текст]: в 2ч. / Д. И. Перепелкина. – М.: Просвещение, 1954. – ч. 2.

14. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для учащихся ср. шк. [Текст] / Киселев. – М.: Дрофа, 1995.

15. Геометрия 11 кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубл. и профильн. изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – М.: Дрофа, 2003.

16. Монахов, Н. И. Из опыта обучения геометрии в старших классах [Текст] / Н. И. Монахов. – М.: Просвещение, 1984.

17. Методика преподавания математики в ср. шк. Частная методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пединститутов по специальности «Математика» / А. Я. Блох [и др.]; сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.

18. Методика обучения геометрии [Текст]: учебное пособие для ВУЗов / под ред. В. А. Гусева. – М.: Академия, 2004.

19. Математика 5-6 [Текст]: кн. для учителя / С. Б. Суворова, Л. В.Кузнецова. – М.: Просвещение, 2006, – 191 с.

20. Методические рекомендации по геометрии [Текст]: кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2004.

21. Методические рекомендации по математике [Текст] / под ред. И. А. Лурье. – М.: Высшая школа, 1984.

22. Паповский, В. М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах [Текст]: книга для учителя / В. М. Паповский. – М.: Просвещение, 1993.

23. Павлова, О. Учебная программа 10-11 кл. [Текст] / О. Павлова // Математика. – 2003. – №37.

24. Погорелов, А. В. Элементарная геометрия [Текст] / А. В. Погорелов. – М.: Наука, 1974.

25. Рогановский, Н. М. Методика преподавания математики в ср. шк. [Текст] / Н. М. Рогановский [и др.]. – М.: Высшая школа, 1990.

26. Рыжик, В. 25000 уроков математики [Текст]: кн. для учителя / В. Рыжик. – М.: Просвещение, 1993

27. Наглядная геометрия [Текст]: учебное пособие для учащихся V-VI кл. / И. Ф. Шарыгин – М.: МИРОС, 1995.

28. Левитас, Г. Г. Введение в геометрию [Текст] / Г. Г. Левитас // Математика в школе. – 1990. – №6. – С. 17.

29. Березанская, Е. С. Вопросы стереометрии [Текст]: пособие для учителя / Е. С. Березанская – М.: Просвещение, 1964.

30. Саранцев, Г. И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях [Текст] / Г. И. Саранцев // Математика в школе. – 1991. – №6. – С. 38.

31. Тематическое планирование к учебникам федерального комплекта [Текст] // Математика в школе. – 2002. – №4. – С. 20.

32. Теоретические основы обучения математике в средней школе [Текст]: учебное пособие для ВУЗов / Под ред. Т. А. Ивановой. – Н. Новгород: Изд-во НГПУ. – 2003.

33. Саакян, С. М. Примерное планирование учебного материала по математике в X-XI классах // Математика в школе. – 2005. – №7. – С. 2.

34. Сычева, Е. И. Тесты по стереометрии // Математика в школе. – 2006. – №4. – С. 24.

35. Факультативные курсы по математике 10-11 кл. /Эксперимент. материалы [Текст] / Сост. Ю. М. Колягин. – М.: НИИ школ МНО РСФСР, 1989.

36. Шевкин, Л. От реформы до реформы / попытка обзора учебников по математике // Школьное образование. – 2002. – №5.

37. Шувалова, Э. В. Геометрия [Текст] / Э. В. Шувалова – М.: Наука, 1968.