Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

3.5 Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

Как и в каком месте курса геометрии следует знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение? Здесь возникает два различных методических вопроса [10]. Первый из них — это вопрос о том_, с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? Второй вопрос, отличный от первого, — это вопрос, когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи.

Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым по времени вводимым элементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех или иных операций. Здесь имеется в виду самое описание процесса употребления инструмента (“прикладываем два острия ножек циркуля к точкам М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями, помещаем одно из них в точку О” и т. п.). На более высокой ступени отдельные операции просто называются (“описываем из точки О окружность радиусом MN” или “опускаем из точки С перпендикуляр на прямую АВ”). Наконец, последней ступенью можно было бы считать ту, когда в качестве элементов построения могут называться и довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известные учащимся задачи (“строим треугольник по гипотенузе и катету”, “проводим из точки М касательную к окружности” и т. п.).

Вторым моментом по времени появления в школьном курсе лучше выбрать исследование задачи. Первый элемент исследования появляется при решении задачи о построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно ля выбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро прибавиться знакомство с возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этому моменту нужно придавать весьма большую принципиальную значимость. Дело в том, что слова “найти точку” обозначают требование “найти все точки, которые...” (а не просто “какую-либо точку, которая...”). Аналогично “решить уравнение” значит “найти все числа, которые удовлетворяют уравнению” (а не просто “какое-либо число, которое...”). “Построить окружность” – это “построить, все окружности, которые...” (а не просто “построить какую-либо окружность, которая...”) и т. д.

Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) – первый случай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкал к ним с самого начала, с 7-8 класса. Иначе совершенно неизбежно возникновение в дальнейшем вопросов такого типа, как “зачем при извлечении корня брать оба знака”. Сам термин “исследование” должен появиться много раньше, чем, скажем, термин “анализ”.

Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время с элементами исследования, является доказательство правильности выполнения построения. Уже такие задачи в 7 классе как построение угла, равного данному, построение перпендикуляров с помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на очередь вопрос о том, будет ли построенный угол действительно равен данному, будет ли построенная прямая перпендикулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на последующих нет большой необходимости (только для соблюдения формального однообразия изложения) требовать проведения доказательства в тех задачах, где правильность построения усматривается непосредственно. Некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, могут, как кажется, оставляться без особого доказательства. Например, задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу и медиане, проведенной к основанию.

Наконец, последним по времени элементом решения, на котором фиксируется внимание учащихся, является анализ. Началом этого вида работы следует считать обращение к ученикам, “придумавшим” то или иное решение задачи, с вопросом: “А как ты это решение нашел?”. Потом постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает название анализа.

Из выше сказанного следует, что в деле введения понятий анализа, построения, доказательства и исследования следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Перейдем теперь ко второму вопросу – о введении в курсе геометрии схемы деления решения задач на построение на четыре части. Несомненно, что изучение этого вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сообщена учащимся, но лишь значительно позднее. В течение учебного года, с начала систематическою курса геометрии в 7 классе до середины курса 8 класса, или даже несколько дольше, должна идти та систематическая, иногда даже незаметная для учащихся работа учителя по ознакомлению учеников с элементами общей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь в 8 классе учитель на примере специально подобранной задачи полностью излагает учащимся всю схему решения. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне определенному пути), чтобы она требовала исследования, и в то же время, чтобы это исследование не было слишком сложным. Вместе с тем задача не должна быть слишком простой, так как в этом случае способ решения может оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им чем-то искусственным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи, решаемые методом геометрических мест. Хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: “Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них”.

Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построения и при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видят необходимость доказательства (проверки, какой из полученных треугольников является искомым), а также и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, больших затруднений в оформлении решений они не испытывают.

Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связь между числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным и признаками равенства треугольников.

При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером для повторения общей схемы будет задача: “Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям”.

После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.

Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемы с подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решение задачи не очевидно, доказательство – когда в нем есть необходимость.

Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только для решения задач на построение. С методической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.

Остановимся более подробно на рассмотрении этапа “исследование”. Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учить школьников видеть эти допустимые значения.

Они определяются наиболее естественным образом. Например, в задаче: “Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними” допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать всевозможные значения от 0° до 180°.

Рассмотрим задачу: “Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке и данной прямой”. В ней прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого 0<ℓ<∞.

Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным числом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы при всяком выборе данных должны устанавливать: имеет ли задача решение и если имеет, то сколько. Например: “Построить окружность, проходящую через три данные различные точки”. Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.

Переходим теперь к одному из самых существенных, в методическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение для решения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или иную задачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: “А что будет, если…”, придумывая те или иные “если” более или менее произвольно. Необходимо приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследовать задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи.

Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, в частности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с “закостенелыми”, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании.

Вывод. Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

4. Методы решения задач на построение

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1) Метод геометрических мест.

2) Методы геометрических преобразований:

а) метод центральной симметрии;

б) метод осевой симметрии;

в) метод параллельного переноса;

г) метод поворота;

д) метод подобия;

3) Алгебраический метод.

Перечисленные методы являются одним из видов применения на практике соответствующих геометрических понятий, которые составляют основу каждого из методов. Поэтому без хорошего знания этих понятий учениками не может быть никакой речи об успешном усвоении соответствующих методов. Но, с другой стороны, в силах учителя подобрать такую систему задач на построение и так построить обучение, чтобы решаемые задачи углубляли представление и увеличивали знания школьников о данном понятии, раскрывая его с разных сторон. Задачи при изучении конкретного метода должны подбираться так, чтобы в них как можно более ярко проявлялась суть изучаемого метода, особенно на первоначальном этапе его изучения. При этом если задача решается несколькими методами, то изучаемый метод должен позволять решить задачу наиболее экономно и красиво. Рассмотрим более подробно каждый метод.

4.1 Метод геометрических мест

Математическая сущность метода геометрических мест весьма проста. Она состоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторых двух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрического места с данной прямой или окружностью); при этом те условия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказывается возможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственно данной прямой или окружностью) [18].

Метод геометрических мест является одним из важнейших приемов решения геометрических задач на построение вообще и должен занимать большое место в решении задач на построение, по преимуществу в 8 классе.

При изложении этого метода в школе дело, конечно, заключается не в том, чтобы учащиеся умели описать суть метода словами, а в том, чтобы учащиеся умели сознательно пользоваться этим методом.

Основа данного метода – понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством.

Все остальные точки пространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек, которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фигуры).

Каждая задача, в которой требуется найти ГМТ по его характеристическому свойству, предполагает требование описать это ГМТ наглядно через известные элементарные фигуры. Решение задачи на отыскание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двух утверждений – прямого и ему противоположного; необходимо доказать, что: 1) каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством; 2) любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает.

Набор изучаемых ГМТ может быть самым разнообразным. Традиционный школьный набор – это:

а) множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние;

б) множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек;

в) множество всех точек плоскости, удаленных от данной прямой на данное расстояние;

г) множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных прямых.

Кроме этого к списку по возможности могут быть добавлены следующие ГМТ:

а) множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом (частный случай – множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок идеен под прямым углом);

б) множество всех точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до двух данных точек постоянна, равна квадрату данного отрезка;

в) множество вех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек постоянно (окружность Аполлония).

Рассматривать эти ГМТ целесообразно только в классах с углубленным изучением математики, а также на внеклассных занятиях по математике.

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем:

а) задача сводится к построению некоторой точки;

б) выясняется, какими свойствами обладает данная точка;

в) рассматривается одно из свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством;

г) берется следующее свойство и так далее;

д) поскольку искомая точка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежать каждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.

В Приложении 4 приведено решение задачи: “Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А”.

Методические рекомендации по методу ГМТ [10]. Понятие ГМТ, обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.

Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.

В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы “Четырехугольники” ознакомились с достаточным числом геометрических мест.

Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:

1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;

2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:

3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [10].

В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).

Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут быть весьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию – она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны. Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задач этого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, а также и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которых при этом необходимо было бы придерживаться.

Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест, отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которых определяется положение искомой точки. Отбирая задачи на построение для решения с каждым классом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Тем самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу, по той идее, которая лежит в их основе.

4.2 Методы геометрических преобразований

Методы этой группы имеют достаточно много общего. Каждый изучается, как правило, при рассмотрении соответствующего преобразования, при этом решаемые задачи служат для закрепления и более глубокого усвоения изучаемого понятия. Для повышения эффективности обучения необходимо, чтобы, кроме первоначальных представлений о самом преобразовании, учащиеся умели выполнять построение образов фигур при этом преобразовании, так как использование образа искомой фигуры при построении есть основа каждого из этих методов, их основная идея и суть.

Если искомую фигуру сразу построить затруднительно, то ее преобразуют в какую-нибудь другую фигуру, построение которой можно сделать легче или непосредственно.

При изучении этих методов целесообразно выделить наиболее характерные признаки с тем, чтобы в будущем, анализируя задачу, ученик мог выбрать соответствующий метод.

Действующая программа по геометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя использование геометрических преобразований при решении задач на построение имеет большое методическое значение [25].

4.2.1 Метод центральной симметрии

Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) Z₀пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М₁, что точка О является серединой отрезка ММ₁.

Данный метод применим к тем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.

Рассмотрим задачу: “Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам”.

Решение. Пусть m и α — данные прямая и окружность, CD —искомый отрезок, Сm, Dа (рис. 3). Тогда Z_A(C) = D. Если Z_A(m) = m₁, то Dm₁ и, следовательно, Dаm₁. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m₁ прямой m при симметрии Z_A, точки D и Е пересечения прямой m₁ с данной окружностью α определяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА [20].

Рис. 3

4.2.2 Метод осевой симметрии

Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) S_l называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М₁, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ₁. Прямая l называется осью симметрии.

Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. В более сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разность частей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что метод осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные – по другую.

Рис. 4

Рассмотрим задачу: “Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и с”.

Анализ. Пусть (рис.4) ABDC — искомый ромб, AD = r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b — в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.

Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общую для прямых с и b'; прямую ВС; точку О  ВС  а; точки А и D на прямой а, отстоящие от точки О на расстоянии ; ABCD — искомый ромб.

Доказательство ввиду его простоты опустим.

Исследование. Возможны следующие случаи: 1) с || b', решений нет; 2) с  b', решений бесконечно много; 3) прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямые с и b' пересекаются на прямой а, решений нет [2].

4.2.3 Метод параллельного переноса

Параллельным переносом на вектор  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что вектор  равен вектору .

Методом параллельного переноса решают задачи, при анализе которых трудно найти зависимость между данными элементами, позволяющую построить искомую фигуру (данные элементы удалены друг от друга); но если мы какую-нибудь часть или всю фигуру перенесем параллельно в некотором направлении на определенное расстояние, то получим вспомогательную фигуру, которую легко можно построить. Направление и величина переноса определяются так, чтобы во вспомогательную фигуру вошло большее число данных.

Рассмотрим задачу: “Построить выпуклый четырехугольник, зная три его угла и две противоположные стороны”.

Подробнее: даны два отрезка а и b и три угла α, β, δ. Требуется построить четырехугольник ABCD так, чтобы А = α, В = β, D = δ, AD = a, СВ = b. Предполагается, что 0° < α < 180°, 0° < β < 180°, 0°< δ < 180°.

 

 

 

 

Рис. 5

 

Анализ. Допустим, что ABCD (рис. 5) — искомый четырехугольник. Перенесем сторону ВС на вектор , и пусть отрезок ВС займет после переноса положение АЕ. Тогда в AED известны: AD = a, AE = b, DAE = BAD –BAE = = A – (180° – B) = α + β – 180°. По этим данным AED может быть построен.

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

Построение. 1) На произвольной прямой строим отрезок AD = а (рис. 6); 2) Через точку А проводим луч AM под углом α + β – 180° к лучу AD; 3) Откладываем на луче AM отрезок АЕ = b; 4) Строим луч EN, образующий с ЕА угол β и расположенный с точкой D по разные стороны от прямой AM; 5) Строим луч DK так, чтобы  ADK был равен δ и чтобы луч DK располагался по ту же сторону прямой DE, что и луч EN; 6) Отмечаем точку С пересечения лучей EN и DK — третью вершину четырехугольника; 7) Четвертая вершина В получается в пересечении прямой AF, параллельной СЕ, с прямой CL, параллельной АЕ.

Доказательство. BAD = ВАЕ+DAE = (180° – β) + (α + β – 180°) = α. ABC = СЕА, как углы, стороны которых соответственно параллельны и противоположно направлены. СЕА = β по построению. ADC = δ по построению. Отрезок AD = а по построению. ВС = АЕ, как отрезки параллельных между параллельными. Но АЕ = b, а значит, и ВС = b [2].

4.2.4 Метод поворота

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ = ОМ₁ и угол МОМ₁ = .

Данный метод применяется к тем задачам, где либо части фигур сближаются в положение, удобное для построения, либо при заданных явно или косвенно центре и угле поворота требуется отыскать две соответственные точки, лежащие на данных или искомых фигурах.

Рассмотрим задачу: “Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Требуется восстановить границу участка”.

Анализ. Пусть ABCD — искомый квадрат, О — его центр, М и N— данные точки соответственно на сторонах АВ и CD (рис. 7). Если повернуть квадрат на 180° около его центра О, то он преобразуется сам в себя. Точка М займет некоторое положение М' на стороне CD, а точка N — некоторое положение N' на стороне АВ. После этого нетрудно уже построить прямые АВ и CD и восстановить искомый квадрат.

 

 

 

Рис. 7

 

Построение. 1) Строим точку М', симметричную М относительно 0, и точку N', симметричную N относительно О. 2) Строим прямые MN' и NM'. 3) Повернем построенные прямые около точки О на 90°. Четыре построенные прямые ограничивают искомый квадрат.

Доказательство опускаем.

Исследование. По смыслу задачи невозможен случай, когда точки М и N располагаются с точкой О на одной прямой, но не симметричны относительно О. Если точки М и N симметричны относительно О, то задача становится неопределенной. В остальных случаях задача имеет единственное решение [2].

4.2.5 Метод подобия

Метод подобия состоит в том, что сначала строится некоторая фигура, подобная искомой, но удовлетворяющая не всем поставленным в задаче условиям. Затем построенную вспомогательную фигуру заменяем фигурой, ей подобной и удовлетворяющей уже всем требуемым условиям [18].

Задача решается методом подобия, если ее условие можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая – размеры фигуры. При решении задач в классе или разборе задач из домашнего задания на этот метод следует задавать учащимся вопросы: Что (какая часть) в условии задачи определяет фигуру с точностью до подобия? Что определяет размеры искомой фигуры?

Методические рекомендации по методу подобия [10]. При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемые задачи по способу задания размеров искомой фигуры:

1)   задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка;

2)   задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;

3)   задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур.

Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из трех групп задач способы выбора центра подобия различны.

В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один из концов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, через который проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры, так как при гомотетии лишь прямые, проходящие через центр подобия, преобразуются сами в себя. При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данного отрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнение дальнейшего построения.

И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концов построенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразно расчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма или разность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.

При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и в большинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительно данных фигур.

В Приложении 4 приведено решение задачи на метод подобия: “Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3”.

4.3 Алгебраический метод

Алгебраический метод решения задач на построении – один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

Но, к сожалению, в школьном курсе геометрии алгебраическому методу практически не уделяется внимания, хотя с методической точки зрения изучение этого метода не представляет особых сложностей.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;

в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;

г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);

д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.

В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами [2]:

1) х = а + b (рис. 8).

2) х = а — b(а > b) (рис. 9).

Рис. 8 Рис.9

3) х = nа, где n — натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построен отрезок х, такой, что х = 6а.

Рис. 10 Рис. 11

4) х = .

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 11). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В₁, определяемую условием 0В₁ = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A₁, в которой она пересечет отрезок а.

5) х =  а (n и m — данные натуральные числа).

Разделим отрезок а на m равных частей и увеличим полученный отрезок в п раз.

6) х =  (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции с : а = b : х. Пусть (рис. 12) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

7) x = .

Можно воспользоваться построением 6), полагая b = а.

8) х =  (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.

9) х =  Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 14).

10) х =  (a > b). Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b.

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

Желательно постепенное изучение этих формул, когда каждая из них разбирается при рассмотрении теории, необходимой для осуществления соответствующего построения.

На этом месте целесообразно также введение простейших задач на алгебраический метод (например, задача о восстановлении отрезков по их сумме и разности) с тем, чтобы формулы рассматривались во взаимосвязи. В дальнейшем, перед серьезным изучением метода, формулы следует повторить.

В Приложении 4 приведена задача на алгебраический метод: “Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом”.

Вывод. Описанные методы рекомендуется использовать для решения геометрических задач на построение. При этом необходимо обращать внимание в том числе и на развитие инициативы учащихся, привитие им вкуса и навыков к решению конструктивных задач.

Было бы неправильно думать, что методы решения задач на построение могут служить основой для классификации самих задач. Существенным, а не случайным следует признавать то обстоятельство, что целый ряд задач на построение может одинаково успешно решаться различными методами. С другой стороны, существуют задачи, которые решаются просто комбинацией основных построений без явного применения какого-либо метода.

С методической точки зрения наиболее приемлемым является применение при обучении решению задач на построение следующего принципа. Необходимо осуществлять последовательный подбор задач в соответствии с целями курса геометрии и постепенное ознакомление учащихся с методами решения задач на построение.

В свою очередь, необходимо ознакомить учащихся с самими методами и научить определять, каким из них можно решить предложенную задачу. Для этого, прежде всего, учащихся необходимо научить выделять наиболее характерные признаки задач, решаемых тем или иным методом. Эти признаки определяются самим содержанием метода.

5. Опытное преподавание

Опытное преподавание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.

Одной из задач опытного преподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативного курса по решению задач на построение, как предусмотренных школьной программой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на учащихся 8 классов.

Цели факультативного курса:

1.   Сформировать у учащихся представление о методах ГМТ и подобия, используемых при решении задач на построение, и научить их применять.

2.   Сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение.

3.   Способствовать развитию логического мышления учащихся.

4.   Сформировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение задач.

5.   Развить математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

Знания и умения, которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме “Задачи на построение и методы их решения”:

1.   Владеть основными понятиями, относящимися к теме.

2.   Уметь пользоваться чертежными инструментами.

3.   Уметь выполнять основные геометрические построения.

4.   Иметь представление об этапах решения задач на построения.

Этапы курса:

1.   Разработка программы факультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.

2.   Проведение анкетирования среди учителей и учащихся.

3.   Проведение психологических методик на определение уровня развития логического мышления №1.

4.   Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

5.   Проведение разработанной программы факультативных занятий.

6.   Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

7.   Проведение психологических методик на определение уровня развития логического мышления №2.

8.   Анализ полученных результатов опытной работы.

Этап №1

Разработка программы факультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.

Факультативные занятия были разработаны на основе анализа математической, методической и учебной литературы с использованием методических рекомендаций (см. §2, стр. 31; §3, стр. 39, стр. 45).

Этап №2

В ходе опытного преподавания было проведено анкетирование среди 6 учителей г. Кирова и г. Кирово-Чепецка. Проанализируем результаты полученных данных.

1.   Какие трудности встречаются при изучении задач на построение?

Большинство учителей на этот вопрос ответили, что чаще всего учащиеся не видят с чего начинать строить (поэтапно), отсюда возникает еще одна проблема – на анализ уходит много времени.

2.   Возвращаетесь ли Вы к задачам на построение при изучении других тем?

Учителя стараются на протяжении всего курса обучения возвращаться к задачам на построение. Но чаще всего учителя не видят в этом необходимости из-за нехватки времени.

3.   Достаточно ли внимания уделяется задачам на построение в школьных учебниках?

Большинство учителей считают, что в школьных учебниках мало уделяется внимания задачам на построение.

4.   Считаете ли вы нужным проводить курсы или факультативные занятия, направленные на решение задач на построение? Если да, то на сколько часов они должны быть рассчитаны и для каких классов?

Большинство учителей считают факультативные занятия и элективные курсы по данной теме необходимыми или по крайней мере желательными. Особенно это касается 8-9 классов. Оптимальное количество занятий составляет 17 часов.

5.   На что необходимо обращать внимание (сделать упор) при обучении решению задач на построение?

Учителя считают, что в первую очередь необходимо обращать внимание на первый этап решения задач на построение – анализ, а также на исследование и, конечно, особенно в 7-8 классе нужно обращать внимание учащихся на построение чертежа с помощью чертежных инструментов.

Опытное преподавание осуществлялось в восьмых классах гимназии №2 г. Кирово-Чепецка. Первоначально среди учащихся было проведено анкетирование. Проанализируем результаты полученных данных.

1. Какие трудности вы испытываете при решении задач на построение

У большинства учащихся вызывает затруднение построение чертежа, нахождение пути решения задачи.

2. Какие этапы решения задач на построение вы используете?

Учащиеся не могут назвать конкретные этапы решения задач на построение. Чаще всего они описывают такой алгоритм: 1) построение рисунка; 2) запись условия (что дано в задаче, что нужно найти); 3) решение задачи; или же просто описывают как строить чертеж (построить угол, затем стороны и т.д.); некоторые учащиеся поставили прочерк в этом пункте.

3. Какие методы решения задач на построение вы знаете (отметить):

а) метод геометрических мест точек;

б) метод подобия;

в) метод осевой симметрии;

г) метод центральной симметрии;

д) метод поворота;

е) метод параллельного переноса;

ж) алгебраический метод.

В анкете учащихся указывали практически все представленные методы, что свидетельствует о том, что они не имеют четкого представления, четкой системы в данной области.

По результатам данного анкетирования можно сказать, что учащиеся плохо представляют как решать задачи на построение, не знают этапов, не имеют четкого представления о методах, решение подобных задач представляет для них трудность.

Этап №3

Были проведены психологические методики, которые выявляют уровень развития логического мышления учащихся (см. Приложение 5). В первую очередь нам необходимо выяснить как изменится уровень логического мышления учащихся, поэтому мы ограничимся лишь показателями количества правильных ответов по каждой методике. Затем данные результаты сравним с результатами, полученными после проведения факультативных занятий.

Получены следующие данные (по каждой методике указано количество правильных ответов):

Табл.1

	Образование простых аналогий (из 16)	Логичность (из 20)	Исключение понятий (из 17)
1.Балыбердина	8	11	13
2.Ворсин	15	15	17
3.Вострикова	15	16	14
4.Гаврилина	14	16	14
5.Двоеглазова	8	14	15
6.Егошин	16	15	15
7.Захаров	12	13	14
8.Ладыгина	16	18	16
9.Лысенко	16	15	15
10.Медянцев	12	15	15
11.Муралева	14	18	14
12.Садаков	16	15	15
13.Симонова	14	17	17
14.Солодянкина	3	11	16
15.Чупракова	16	17	17

 

Этап №4

Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

На контрольной работе учащимся было предложено 3 задания, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в Приложении 6.

Результаты диагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице 2.

Табл.2

№ задания	1	2	3
Кол-во человек, решивших задание	5	3	7
Доля человек, решивших задание в процентах	33%	20%	47%

 

Этап №5

Проведение разработанной программы факультативных занятий.

Занятия проводились 1 раз в неделю по два часа. Всего было проведено 6 занятий.

Основные задачи проведения факультативных занятий:

1)   выявить тот материал, который вызывает у учащихся наибольшие затруднения;

2)   определить эффективность усвоения материала посредством текущей проверки;

3)   выявить заинтересованность учащихся в изучении данной темы (программу факультативного курса с подробным конспектом одного из занятий см. в Приложении 6).

Этап №6

Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

Контрольная работа была проведена после проведения факультативных занятий разработанной программы. Задача: выявление знаний и умений решать задачи на построение методом ГМТ и подобия.

Учащимся было предложено 3 задания, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №2 представлено в Приложении 6.

Результаты диагностирующей контрольной работы №2 отображены в таблице 3.

Табл.3

№ задания	1	2	3
Кол-во человек, решивших задание	11	7	13
Доля человек, решивших задание в процентах	73%	47%	87%

 

Этап №7

Были проведены те же психологические методики, что и перед началом эксперимента.

Получены следующие данные (по каждой методике указано количество правильных ответов):

Табл.4

	Образование простых аналогий (из 16)	Логичность (из 20)	Исключение понятий (из 17)
1.Балыбердина	11	14	15
2.Ворсин	15	17	17
3.Вострикова	16	18	16
4.Гаврилина	15	17	15
5.Двоеглазова	9	14	16
6.Егошин	16	16	16
7.Захаров	13	15	16
8.Ладыгина	16	18	17
9.Лысенко	16	16	17
10.Медянцев	14	16	15
11.Муралева	16	18	15
12.Садаков	16	17	16
13.Симонова	15	19	17
14.Солодянкина	10	15	16
15.Чупракова	16	18	17

 

Этап №8

Анализ полученных результатов опытной работы.

На основании таблиц №2 и №3 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольных работ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.

Как видно из диаграммы, перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был ниже, чем средний, а после проведения занятий он значительно повысился. Положительная тенденция заметна: учащиеся научились решать задачи на построение методом ГМТ и методом подобия, и большинство справились с заданиями 1,3; значительно улучшилось умение решать более сложные задачи. Многие учащиеся овладели методом ГМТ и методом подобия при решении задач на построение.

Кроме того, на основании таблиц 1,4 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов психологических методик, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.

1)   Методика “Образование простых аналогий”

2)   Методика “Логичность”

3) Методика “Исключение понятий”

Как видно из диаграмм, уровень развития логического мышления учащихся после проведения факультативных занятий увеличился. Таким образом, можно утверждать, что решение задач на построение положительно влияют на развитие логического мышления учащихся.

Вывод. Опытное преподавание показало, что более глубокое и объемное изучение задач на построение и методов их решения дает возможность учащимся лучше ориентироваться в данной теме, творчески подходить к каждой задаче, применять наиболее рациональный метод решения, а также повысить уровень своего логического мышления.

Заключение

·  Выполнен анализ учебных программ, учебной и учебно-методической литературы по геометрии, в ходе которого найдены сходства и различия по данной теме. Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать многие разделы математики.

·  Рассмотрено понятие логического мышления, сделан анализ психолого-педагогический литературы по теме исследования, показаны возможности развития логического мышления учеников при решении задач на построение.

·  Рассмотрены основные этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование, которые точно соответствуют этапам любого логического рассуждения, каждый из которых является важным и требует должного внимания при решении задач.

·  Разработаны методические рекомендации по обучению решения задач на построение.

·  Рассмотрены основные методы решения задач на построение. Отметим, что необходимо знакомить учащихся с самими методами и учить определять, каким из них можно решить предложенную задачу.

·  Проведено опытное преподавание.

Таким образом, задачи данной работы были выполнены, в ходе их выполнения подтвердилась гипотеза исследования. Цель работы была достигнута.

Кроме того, отметим, что:

1)  необходимо уделять больше внимания изучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являются мощным средством развития логического мышления учащихся;

2)  геометрические задачи на построение не нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курса геометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывно связаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо не только обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания, но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.

Библиографический список

1.   Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. – М.: Учпедгиз,1954.

2.   Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: Просвещение, 1966.

3.   Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. – 2002. – №9. – С. 47-50.

4.   Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.

5.   Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2004.

6.   Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1992.

7.   Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1991.

8.   Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995.

9.   Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991.

10.             Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – С. 59-69.

11.             Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей / А.А.Мазаник. – Минск: Народная асвета, 1967.

12.             Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Сайтком, 2000.

13.             Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Сайтком, 2000.

14.             Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: Просвещение, 1994.

15.             Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: Дрофа, 1998.

16.             Мисюркеев, И.В. Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. – М: Учпедгиз, 1950.

17.             Общая психология: учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А. В. Петровского. – М.: Просвещение, 1986.

18.             Перепелкин, Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. – М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР,1947.

19.             Платонов, К.К. Краткий словарь системы психологических понятий / К.К. Платонов. – М.: Высш. шк., 1984.

20.             Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П.Понарин. – М.: МЦНМО, 2004.

21.             Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.2: Стереометрия, преобразования пространства / Я.П.Понарин – М.: МЦНМО, 2006.

22.             Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991.

23.             Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2 / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991.

24.             Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. – СПб.: Питер, 1989.

25.             Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев. – М.: ВЛАДОС, 2005.

26.             Тихомиров, О.К. Психология мышления / О.К. Тихомиров. – М.: Академия, 2002.

27.             Философский энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1983.

28.             Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (Планиметрия) / И.Ф. Шарыгин. – М.: Наука, 1986.

Приложение 1

Анализ программ

 

Учебники “Геометрия 7-9”

1)   Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]

а) 7 класс. Глава 2 “Треугольники” (14 ч): Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Основная цель – отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки. На начальном этапе изучения темы полезно больше внимания уделять использованию средств наглядности, решению задач по готовым чертежам.

Глава 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” (16 ч): Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Задачи на построение. Основная цель – расширить знания учащихся о треугольниках. При решении задач на построение в 7 классе рекомендуется ограничиваться только выполнением построения искомой фигуры циркулем и линейкой. В отдельных случаях можно проводить устно анализ и доказательство, а элементы исследования могут присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.

б) 8 класс. Глава 7 “Подобные треугольники” (19 ч): подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательствам теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Основная цель – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников. Решение задач на построение методом подобия можно рассмотреть с учащимися, интересующимся математикой.

В главе 8 “Окружность” (17 ч): Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Основная цель – дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях. В этой же теме имеется ряд задач на построение вписанных и описанных окружностей с помощью циркуля.

в) 9 класс. Глава 12 “Длина окружности и площадь круга” (16 ч): Правильные многогранники. Длина окружности и площадь круга. Основная цель – расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки ограничивается построением квадрата, правильных треугольника, шестиугольника и 2n-угольника.

Глава 13 “Движение” (12 ч): Понятие движения. Параллельный перенос и поворот. Основная цель – познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом. При изучении темы основное внимание следует уделить выработке навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.

2)   А.В. Погорелов [5]

а) 7 класс. §5 “Геометрические построения”. Основная цель – решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки: треугольника по трем сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикулярной прямой; деление отрезка пополам.

б) 8 класс. §6 “Четырехугольники (20 ч): Определение четырехугольника. Параллелограмм, его признаки и свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Основная цель – дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах.

§9 “Движение” (8 ч): Движение и его свойства. Симметрия относительно точки и прямой поворот. Параллельный перенос и его свойства. Понятие о равенстве фигур. Основная цель – познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований. Симметрия относительно точки и прямой, параллельный перенос учащиеся должны усвоить на уровне практических применений.

§11 “Подобие фигур” (17 ч): Понятие о гомотетии и подобии фигур. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Подобие прямоугольных треугольников. Центральные и вписанные углы и их свойства. Основная цель – усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения.

§13 “Многоугольники” (12 ч): Ломаная. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Длина окружности. Длина дуги окружности. Радианная мера угла. Основная цель – расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях.

3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]

а) 7 класс. Глава 1 “Начала геометрии” (15 ч): Геометрические фигуры. Первые задачи геометрии. Построения. Отрезки. Луч и прямая. Действия над отрезками. Длина отрезка. Расстояние. Окружность и круг. Угол. Действия над углами. Величина угла. Основная цель – рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения. Особую роль в 7 классе играют геометрические построения. Первые аксиомы появляются как утверждения о возможности выполнения простейших построений, а первые доказательства дают обоснование того, что построенные фигуры обладают требуемыми свойствами. Изложение как этой темы, так и последующих должно сочетать наглядность и логичность, а также быть связано с практическими применениями.

Глава 2 “Треугольники” (20 ч): Треугольник и его элементы. Равенство треугольников. Два признака равенства треугольников. Деление отрезка пополам и построение перпендикуляра. Серединный перпендикуляр отрезка. Построение биссектрис, высот и медиан треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Понятие об осевой симметрии. Признак равнобедренного треугольника. Основная цель – развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур.

б) 8 класс. Глава 5 “Метрические соотношения в треугольнике” (34 ч): Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора: равенство прямоугольных треугольников, сравнение перпендикуляра и наклонной, неравенство треугольника, характерное свойство биссектрисы угла. Синус. Свойства синуса и его график. Применения синуса: решение прямоугольных треугольников, вычисление площади треугольника, теорема синусов, решение треугольников. Косинус, его свойства и график. Применения косинуса: теорем косинусов, решение треугольников, средняя линия треугольника, сравнение сторон и углов треугольника. Тангенс и его свойства. Основная цель – изучить основы тригонометрии, доказать три важнейшие теоремы и продемонстрировать богатство возможных применений этих теорем в теории и в практике, в частности при решении треугольников.

в) 9 класс. Глава 7 “Многоугольники и окружности” (18 ч): Хорды и касательные. Градусная мера дуги окружности. Вписанные углы. Вписанные и описанные окружности. Правильные многоугольники. Центр правильного многоугольника. Длина окружности площадь круга. Основная цель – измерение длины окружности и площади круга. Остальные результаты этой темы имеют второстепенный характер.

Глава 8 “Другие методы геометрии” (34 ч): Метод координат: расстояние между точками, понятие об уравнении фигуры, уравнение окружности. Векторы и координаты: разложение вектора по осям координат, координаты векторов и их связь с координатами точек, уравнение прямой. Скалярное умножение и его свойства. Преобразование фигур. Движение фигур и его свойства. Преобразования фигур. Движение фигур и его свойства. Виды движений: перенос, симметрии, поворот. Симметрия фигур. Подобие. Гомотетия. Свойства подобия. Подобие треугольников. Основная цель – познакомить учащихся с методами. Отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований.

Основная цель всех учебников при введении задач на построение – это развить и отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Приложение 2

Сравнительная таблица основных видов мышления

Практическое мышление	Теоретическое мышление
— совершается в ходе практической деятельности и направлено на решение практических задач; — начинается с возникновения проблемной ситуации, которую нужно решить; — протекает в условиях дефицита времени, опасности или высокой ответственности за принимаемое решение; — направлено на преобразование реальной действительности	— направлено на познание и объяснение явлений действительности; — процесс мышления предполагает создание гипотезы, новой идеи или образа, а также проверку гипотезы на соответствие реальности
Интуитивное мышление	Логическое мышление
— при интуитивном мышлении переход к новому знанию происходит через озарение; — процесс мышления неосознаваем и слит с самим действием; — объектами мышления являются объекты — оригиналы, с которыми взаимодействует человек; — интуитивное мышление выполняет функцию получения нового знания	— при логическом мышлении происходит плавный логический переход от данного к новому; — процесс мышления осознан, отделен от своего продукта, а способы действия выделены и превращены в операции, применимые ко многим подобным объектам; — объектами логического мышления выступают знаковые системы; — логическое мышление выполняет функцию трансляции уже полученного знания другому

Приложение 3

Задачи к §3 “Методика решения задач на построение”