Навигация
3.1. Анализ
Анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.
Рис. 1
Чтобы найти решение, нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольника даны. Для этого начертим произвольный треугольник A1B1C1 (рис.1) и отметим элементы, соответствующие данным по условию. Пусть это будет сторона A1C1 и угол C1A1B1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нужно показать и разность. Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки C1 или от точки B1 либо на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки B1, так и от точки A1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой, и нельзя наметить план решения. Если же В1А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон — будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру D2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру C1A1D1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.
Построив на произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А1 и С1. Зная угол С1А1В1, мы можем найти и положение точки D1, где D1A1 = B1A1 — В1С1. Остается рассмотреть, как построить точку В1, зная положение точки D1. Так как C1B1 = B1D1, то точка B1 равноудалена от точек C1 и D1, поэтому она должна лежать на перпендикуляре P1Q1, проведенном к отрезку C1D1 через его середину. Точка пересечения прямой P1Q1 и луча A1D1 и будет точкой В1. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом этого отрезка. На второй стороне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих концов основания и построенного отрезка. Точку пересечения этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основания и получаем, искомый треугольник [11].
3.3. Доказательство
Задача. Построить трапецию по четырем сторонам (рис. 2).
Решение. Проведя CK||BA, решение задачи сводим к построению треугольника KCD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АВ = КС), a KD = AD — BC. Построим треугольник КCD, и, считая сторону AD построенной, дополним его до трапеции различными способами:
1) Проведем BC||AD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А.
Доказательство сведется к установлению равенства: АВ = КС.
2) Если провести АВ||КС и BC||AD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.
Рис. 2
3) Если провести прямую CB||DA и на ней найти точки В и В1 отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случае точка В1 будет посторонней и лишь точка В будет искомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.
4) Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В2 (рис. 2) только точка В будет искомой.
Третий и четвертый случаи подчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи [11].
Приложение 4
Задачи к §4 “Методы решения задач на построение”
4.1 Метод геометрических мест точек
Задача. Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А.
Рис. 3
Решение.
Предположим, что треугольник АВС построен.
Опустим из середины А1 стороны ВС перпендикуляры А1В' и А1С' на прямые АС и АВ соответственно.
Ясно, что АА1 = ma, А1В' = hb/2 и А1С' = hс/2. Из этого вытекает следующее построение.
Строим отрезок АА1 длиной ma. Затем строим прямоугольные треугольники АА1В' и АА1С' по известным катетам и гипотенузе так, чтобы они лежали по разные стороны от прямой АА1. Остается построить точки В и С на сторонах АС' и АВ' угла С'АВ' так, чтобы отрезок ВС делился точкой А1 пополам.
Для этого отложим на луче АА1 отрезок AD = 2АА1, а затем проведем через точку D прямые, параллельные сторонам угла С'АВ'.
Точки пересечения этих прямых со сторонами угла С'АВ' являются вершинами искомого треугольника (рис.3) [22].
Похожие работы
... труде - все это формирует и развивает познавательный интерес и превращает его в важный стимул учебной деятельности учащихся [20,46]. Существуют различные средства развития познавательного интереса: решение занимательных, логических задач, игра, исторические экскурсы и другие. Наиболее подробно остановимся на исторических экскурсах. Знакомство с историей науки полезно для каждого человека, а для ...
... координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии: - дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем; - показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии; - способствовать ...
... развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии. При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач. При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей ...
... Таким образом, в современном мире необходимы информационно-коммуникационные технологии. ГЛАВА II. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ: «ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЖИВОТНОГО МИРА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ» 2.1 Диагностика уровня развития познавательного интереса В результате изучения психолого-педагогической литературы ...
0 комментариев