Навигация
Анализ методов решения задачи коммивояжера
41303
знака
25
таблиц
7
изображений
1.2.6. Анализ методов решения задачи коммивояжера
Для подведения итогов в изучении методов решения ЗК протестируем наиболее оптимальные алгоритмы на компьютере по следующим показателям: количество городов, время обработки, вероятность неправильного ответа. Данные занесём в таблицу.
| Алгоритм лексического перебора | |||
| Кол-во городов | Время обработки, c | Вероятность неправильного ответа, % | Тип алгоритма |
| 10 | 41 | 0 | точный |
| 12 | 12000=3ч.20мин | 0 | |
| 32 | -* | 0 | |
| 100 | -* | 0 | |
| Метод ветвей и границ | |||
| 10 | ~0 | 0 | точный |
| 32 | ~0.0001 | 0 | |
| 100 | 1.2 | 0 | |
| Мой алгоритм решения ЗК | |||
| 10 | 0.001 | 0 | приближенный |
| 32 | 2.5 | 0 | |
| 100 | 6 | 0 | |
*- ЗК с таким количеством городов методом лексического перебора современный компьютер не смог бы решить даже за всё время существования Вселенной.
Как видим по результатам этой таблицы, алгоритм лексического перебора можно применять лишь в случае с количеством городов 5..12. Метод ветвей и границ, наряду с моим методом, можно применять всегда. Хотя мой метод я отнёс к приближённым алгоритмам, он фактически является точным, так как доказать обратное ещё не удалось.
1.3 Практическое применение задачи коммивояжера
Кроме очевидного применения ЗК на практике, существует ещё ряд задач, сводимых к решению ЗК.
Задача о производстве красок. Имеется производственная линия для производства n красок разного цвета; обозначим эти краски номерами 1,2… n. Всю производственную линию будем считать одним процессором.. Будем считать также, что единовременно процессор производит только одну краску, поэтому краски нужно производить в некотором порядке Поскольку производство циклическое, то краски надо производить в циклическом порядке p=(j1,j2,..,jn,j1). После окончания производства краски i и перед началом производства краски j надо отмыть оборудование от краски i. Для этого требуется время C[i,j]. Очевидно, что C[i,j] зависит как от i, так и от j, и что, вообще говоря,C[i,j]≠C[j,i]. При некотором выбранном порядке придется на цикл производства красок потратить время.
Таким образом, ЗК и задача о минимизации времени переналадки – это просто одна задача, только варианты ее описаны разными словами.
Задача о дыропробивном прессе. Дыропробивной пресс производит большое число одинаковых панелей – металлических листов, в которых последовательно по одному пробиваются отверстия разной формы и величины. Схематически пресс можно представить в виде стола, двигающегося независимо по координатам x, y, и вращающегося над столом диска, по периметру которого расположены дыропробивные инструменты разной формы и величины. Каждый инструмент присутствует в одном экземпляре. Диск может вращаться одинаково в двух направлениях (координата вращения z). Имеется собственно пресс, который надавливает на подвешенный под него инструмент тогда, когда под инструмент подведена нужная точка листа.
Операция пробивки j-того отверстия характеризуется четверкой чисел (xj,yj,zj,tj),, где xj,yj- координаты нужного положения стола, zj - координата нужного положения диска и tj - время пробивки j-того отверстия.
Производство панелей носит циклический характер: в начале и конце обработки каждого листа стол должен находиться в положениях (x0, y0) диск в положении z0 причем в этом положении отверстие не пробивается. Это начальное состояние системы можно считать пробивкой фиктивного нулевого отверстия. С параметрами (x0,y0,z0,0).
Чтобы пробить j-тое отверстие непосредственно после i-того необходимо произвести следующие действия:
1. Переместить стол по оси x из положения xi в положение xj, затрачивая при этом время t(x)(|xi-xj|)=ti,j(x)
Проделать то же самое по оси y, затратив время ti,j(y)
Повернуть головку по кратчайшей из двух дуг из положения zi в положение zj, затратив время ti,j(z) .
Пробить j-тое отверстие, затратив время tj.
Конкретный вид функций t(x), t(y), t(z) зависит от механических свойств пресса и достаточно громоздок. Явно выписывать эти функции нет необходимости
Действия 1-3 (переналадка с i-того отверстия j-тое) происходит одновременно, и пробивка происходит немедленно после завершения самого длительного из этих действий. Поэтому
С[i,j] = max(t(x), t(y), t(z))
Теперь, как и в предыдущем случае, задача составления оптимальной программы для дыропробивного пресса сводится к ЗК (здесь - симметричной).
Выводы
Изучены эвристический, приближенный и точный алгоритмы решения ЗК. Точные алгоритмы решения ЗК – это полный перебор или усовершенствованный перебор. Оба они, особенно первый, не эффективны при большом числе вершин графа.
Предложен собственный эффективный метод решения ЗК на основе построения выпуклого многоугольника и включения в него центральных вершин (городов).
Проведён анализ наиболее рациональных методов решения ЗК и определены области их эффективного действия: для малого числа вершин можно использовать точный метод лексического перебора; для большого числа вершин рациональнее применять метод ветвей и границ или метод автора работы (Анищенко Сергея Александровича).
Изучены практические применения ЗК и задачи с переналадками, сводимые к ЗК.
Приведены тексты программ, позволяющие решить ЗК различными методами.
Список литературы
О. Оре Графы и их применение. Пер. с англ. под ред. И.М. Яглома. - М., «Мир», 1965, 174 с.
В. П. Сигорский. Математический аппарат инженера. - К., «Техніка», 1975, 768 с.
Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. Математическое программирование: учебное пособие. 2-е изд. перераб. и доп. - М.; Высшая школа, 1980, 300 с., ил.
Е. В. Маркова, А. Н. Лисенков. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. – М., Наука, 1979, 345 с.
Е. П. Липатов. Теория графов и её применения. - М., Знание, 1986, 32 с.
В. М. Бондарев, В. И. Рублинецкий, Е. Г. Качко. Основы программирования. – Харьков, Фолио; Ростов на Дону, Феникс, 1998, 368 с.
Ф. А. Новиков Дискретная математика для программистов. - Санкт-Петербург, Питер, 2001, 304 с., ил.
Похожие работы
... важным элементом образования специалистов, связанных с её применением при решении задач, возникающих в приложениях. Поэтому нам представляется, что технология решения задач дискретного программирования должна стать одной из важных составных частей современного математического образования для специалистов по прикладной математике. Дискретные оптимизационные задачи можно решать двумя методами: ...
... и j входит в выражение (1) один и только один раз. Функция является, таким образом, аддитивной - она представима в виде суммы слагаемых, однако сама задача - задача отыскания минимума l - в силу ограничения (a) не является аддитивной и не удовлетворяет принципу оптимальности. Рис.1. Рассмотрим плоскость t, х, где t - дискретный аргумент, принимающий значения 0, 1, 2, . . . , N, ...
... с помощью Visual C++. Описание алгоритма В программе содержится рекурсивная функция, которая обеспечивает перебор возможных путей для поиска самого короткого. Именно здесь заключен алгоритм решения задачи «коммивояжера». Рассмотрим его подробнее: 1. Для каждого города (i = от 1 до n), где мы еще не были. 2. Допустим, что мы пришли в какой-то город i. Помечаем его, что мы здесь уже ...
... (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент. В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты: А – Б – Г – Д – В – А min z = 16+21+16+12+13 = 78 Раздел 2. Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ). Постановка задачи: В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. ...
0 комментариев