Подбор подходящего закона распределения вероятностей

1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как экспоненциальное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.

Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно гамма-распределение.

Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 5).

Определим параметры экспоненциального (λ), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение) и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:

, ,

B5 = 1/A2;

B8 = A2;

B9 = B2;

B12 = (A2/B2)^2;

B13 = B2^2/A2.

Таблица 5 – Значения плотностей распределения

В ячейках В16:В25 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 4.

Плотности экспоненциального, нормального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:

С16 = ЭКСПРАСП (А16;$B$5;ЛОЖЬ);

D16 = НОРМРАСП (А16;$B$8;$B$9;ЛОЖЬ);

E16 = ГАММАРАСП (А16;$B$12;$B$13;ЛОЖЬ).

Затем копируем их в блок ячеек С17:Е25.

После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 3- 5.

Рисунок 3 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения

Рисунок 4 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения

Рисунок 5 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Используя критерий χ², установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются нормальному распределению.

Для применения критерия χ² необходимо, чтобы частоты n_i, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:

,

где p_i – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a_i-1,a_i].

Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому p_i = F(a_i) – F(a_i-1).

Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.

Для экспоненциального распределения:

D31 = ЭКСПРАСП (B31; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А31; $B$5; ИСТИНА);

Для нормального распределения:

D40 = НОРМРАСП (В40; $B$8; $B$9; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А40; $B$8; $B$9; ИСТИНА);

Для гамма-распределения:

D49 = ГАММАРАСП (В49; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А49; $B$12; $B$13$ ИСТИНА).

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:

Е31 = (С31-100*В31)^2/(100*D31), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:

Е38 = СУММ(E34:E39);

Е47 = СУММ(E42:E47);

Е56 = СУММ(Е50:Е55).

Которые равны соответственно 659,6862; 5,2199 и 3,8740.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ²_выч достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ²_кр, которое определяется по распределению χ² в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k^’ – s – 1. где k^’ – количество интервалов после объединения; s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.

В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 2

Критическое значение рассчитывается по формуле:

Е57 = ХИ2ОБР(0,05;4), из таблицы 6 видно, оно равно 9,4877.

Поскольку 5,2199<9,4877, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрами α = = 98,68 и σ = 8,7673 соответственно.

Таблица 6 – Подбор распределения на основе критерия χ²

Похожие работы

Методы оценки показателей надежности. Организация определительных испытаний на надёжность РЭСИ

Скачать

20318

2

3

... , и обеспеченном необходимыми средствами испытаний. К эксплуатационным относятся испытания, проводимые для определения (оценки) показателей надежности в заданных режимах и условиях эксплуатации. Организация определительных испытаний на надёжность Определительные испытания на надёжность могут проводиться по разным планам. Каждый план имеет некоторое количество параметров, для каждого из ...

Испытания изделий электронной техники

Скачать

42551

1

4

... В зависимости от характера воздействия на изделия все ВВФ делятся на классы: механические, климатические и другие природные, биологические, радиационные, электромагнитных полей /6/. 1.1 Климатические испытания изделий электронной техники Под влиянием климатических факторов в материалах ИЭТ протекают сложные физико-химические процессы, изменяющие их свойства и способствующие отказам. Опыт ...

Испытание сахарного печенья из пшеничной муки

Скачать

60414

7

0

... объекта испытаний. Объектом испытаний является печенье сахарное квадратной формы. 2.1.2 Нормативный документ, согласно которому изготавливается объект испытаний. Сахарное печенье должно изготавливаться в соответствии с требованиями ГОСТ 24901-89 «Печенье. Общие технические условия» 2.1.2.1 Технические требования к изготовлению сахарного печенья Печенье должно изготовляться в соответствии ...

Классификация испытаний и испытания РЭСИ на этапах проектирования, изготовления и выпуска изделий

Скачать

19506

0

1

... различными предприятиями. Для этого сравниваемые объекты испытывают в идентичных условиях. Контрольные испытания, составляющие наиболее многочисленную группу испытаний, проводят для установления соответствия характеристик РЭСИ заданным. Испытания на этапах проектирования, изготовления и выпуска изделий Как уже отмечалось, цели и задачи испытаний меняются в течение «жизненного цикла» изделия. ...