Исследование свойств исходной МСАР (при Wk(p)=E)

1.3 Исследование свойств исходной МСАР (при Wk(p)=E)

Изобразим структурную схему МСАР с учетом перекрестных связей в многомерном объекте управления (Рисунок 1.11)

Рисунок 1.11 – Структурная схема МСАР с учетом перекрестных связей в МОУ

Передаточная матрица  имеет следующий вид:

,

где ,  – передаточные функции перекрестных связей в объекте управления

,

.

 

Устойчивость исходной МСАР

1) Обобщенный критерий Найквиста

Запишем передаточную матрицу разомкнутой системы, изображенной на рисунке 1.10

(1.15)

Выражение для получения характеристического уравнения:

det [E+W(p)] = 0. (1.16)

Здесь [E+W(p)] – матрица возвратных разностей. Ее определитель представляет собой дробно-рациональную функцию H(p), в числителе которой – характеристический полином j_з(p) для замкнутой МСАР, а в знаменателе – характеристический полином j_р(p) для разомкнутой МСАР:

H(p) = j_з(p)/j_р(p). (1.17)

Эта особенность функции H(p) используется для получения обобщенного критерия Найквиста при исследовании устойчивости замкнутой МСАР.

С помощью программного пакета MathCAD найдем характеристический полином разомкнутой МСАР (Приложение 3а). Приравняем полученный полином к нулю и получим корни характеристического уравнения разомкнутой МСАР:

,

,

,

,

,

Разомкнутая МСАР находится на апериодической границе устойчивости.

Построим обобщенный годограф Найквиста. Произведем замену  и представим определитель матрицы возвратных разностей в виде суммы действительной и мнимой части:

Построим обобщенный годограф Найквиста (рисунок 1.12) с помощью программного пакета MathCAD (Приложение 3б).

Рисунок 1.12 – Обобщенный годограф Найквиста

а) годограф на высокочастотном участке

б) годограф на среднечастотном участке

в) общий вид годографа

Если разомкнутая система находится на апериодической границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой МСАР необходимо и достаточно, чтобы обобщенный годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал точку с координатами (0; j0).

Так как обобщенный годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, охватывает точку с координатами (0; j0) (рисунок 1.12 в), то замкнутая МСАР является неустойчивой.

2) Метод эквивалентирования относительно первого канала

Рассмотрим детализирванную до уровня одномерных звеньев структурную схему МСАР (Рисунок 1.13)

Рисунок 1.13 – Детализирванная до уровня одномерных звеньев структурная схема МСАР

Изобразим структурною схему с учетом только внешнего воздействия первого канала регулирования, тогда второй канал регулирования представим эквивалентным звеном (Рисунок 1.14).

Определим передаточную функцию эквивалентного звена:

(1.18)

Рисунок 1.14 – Структурная схема с эквивалентным второму каналу регулирования звеном

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы

(1.19)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корнии ее характеристического уравнения были левыми.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

С помощью программного пакета MathCad найдем его корни (Приложение 4)

,

,

,

,

,

Не все корни характеристического уравнения замкнутой системы левые, следовательно, система неустойчива.

Колебательная граница устойчивости

С помощью обобщенного годографа Найквиста подберем такую пару значений параметров К₁ и К₂, при которых МСАР находится на колебательной границе устойчивости.

Значения параметров  и , при которых МСАР находится на колебательной границе устойчивости, следующие:

,

.

Изобразим годограф Найквиста системы с найденными коэффициентами в области высоких частот (Рисунок 1.15).

Рисунок 1.15 – Обобщенный годограф Найквиста при ,

Проверим правильность найденных значений моделированием МСАР (Приложение 5). Графики переходных процессов, полученные в результате моделирования, представим на рисунке 1.16.

Рисунок 1.16 – Переходные характеристики

Графики переходных характеристик представляют собой незатухающие колебания, следовательно, при заданных параметрах система находится на границе устойчивости.

Влияние перекрестных связей на точность МСАР в установившемся режиме

Запишем передаточную матрицу замкнутой системы, изображенной на рисунке 1.10.

,

где W(p) – передаточная матрица разомкнутой системы (1.15), определенная в пункте 1.3.1.

Рассматриваемая система имеет два входа и два выхода, следовательно, передаточная матрица замкнутой системы имеет вид:

. (1.20)

Передаточная матрица замкнутой системы, соответствующая паре «вх. 1 – вых. 1», – , паре «вх. 1 – вых. 2», – .

Построим АЧХ замкнутой МСАР относительно пар «вх. 1 – вых. 1» и «вх. 1 – вых. 2» с помощью программного пакета MathCAD (Приложение 6а).

,

.

Рисунок 1.17 – АЧХ замкнутой МСАР относительно пар «вх. 1 – вых. 1» и «вх. 1 – вых. 2»

Определим ординаты построенных характеристик на частоте :

,

.

За точность МСАР в установившемся режиме отвечает низкочастотный участок АЧХ, по которому можно определить амплитудно-фазовые искажения.

Проведем сравнение АЧХ первого сепаратного канала и АЧХ исходной системы относительно пары «вх1-вых1». Представим их на одном графике.

Рисунок 1.18 – АЧХ замкнутой МСАР относительно пары «вх. 1 – вых. 1» и первого сепаратного канала

Если предположить, что установившийся режим существует, то, судя по низкочастотному диапазону АЧХ, следствием влияния перекрестных связей является уменьшение амплитудных искажений на рассматриваемой частоте w₁=9.9 рад.

Влияние перекрестных связей на динамические свойства МСАР

Построим графики переходных функций относительно пар «вх. 1 – вых. 1», «вх. 1 – вых. 2» в программном пакете MathCAD (Приложение 6б) с использованием ранее записанной передаточной матрицей замкнутой системы (1.20).

Рисунок 1.19 – Переходных функций относительно пар «вх. 1 – вых. 1», «вх. 1 – вых. 2»

По графикам переходных функций видно, что исходная двумерная САР (при ) является неустойчивой. Таким образом, введенные перекрестные связи в объект управления ухудшают динамические свойства МСАР.