ФНЧ со всплесками затухания (ф-ры Золотарева)

3. ФНЧ со всплесками затухания (ф-ры Золотарева)

 

Отличительной особенностью характеристик затухания полиномиального ФНЧ является их монотонное возрастание по мере удаления от полосы пропускания. Однако, если необходимо синтезировать ФНЧ со значительным уровнем гарантированного затухания а₀ и при узкой полосе перехода, то применение полиномиальных конструкций приводит к неоправданно большому количеству элементов в таких случаях имеет смысл обратиться к другим передаточным функциям, в частности имеющими нули полинома, а в полосе задержания всплеск затухания, то есть к функциям вида:

 (5)

где  – полином Гурвица степени n; ₁, ₂, ....., – частоты в полосе задержания, где АЧХ фильтра обращается в нуль(затухание принимает бесконечно большое значение, то есть имеет место его «всплеска»).

Частотная зависимость затухания имеет вид:

 (6)

Среди ФНЧ, передаточная функция которых имеет вид дроби (5), наибольшее распространение получили ФНЧ с изоэкстремальными характеристиками затухания или ФНЧ Золотарёва.

Требования к характеристике затухания ФНЧ такого типа формулируется следующим образом: затухание фильтра в полосе пропускания не должно превышать заданной величины Δа, а в полосе задержания быть не менее заданной величины а₀.

В подобных случаях, при аппроксимации характеристик затухания фильтра используется одна из задач наилучшего приближения функций, сформулированная и решённая Е.И. Золотарёвым (1847-1878), профессором Петербургского университета, учеником П.Л. Чебышева, а именно задача о рациональной функции порядка n, значения которой по абсолютной величине в интервале -1 1 не превышали бы единицы, а в интервале || > 1 наименьшее по абсолютной величине её значение было бы максимально возможным.

Соответствующая рациональная функция может быть названа дробью Золотарёва.

Если в выражение а = 10lg(1+A₀P_n²()) под P_n() понимать дробь Золотарёва, то в соответствии со свойствами последней наименьшее значение затухания такого фильтра в полосе задержания будет максимально возможным по сравнению со всеми другими фильтрами с теми же значениями.

График затухания ФНЧ с характеристиками Золотарёва, а также возможные схемы реализации приведены для случая n = 5 на рисунке 7.

Рисунок 7.

Видно, что всплески затухания расположены так, что значения минимумов в полосе задержания оказываются одинаковыми и равными.

Фильтры с характеристиками Золотарёва (или просто ФНЧ Золотарёва) называют иногда эллиптическими, поскольку значения нулей и полюсов дроби Золотарёва выражаются через эллиптические функции.

Решения, связанные с расчётом ФНЧ Золотарёва, в настоящее время табулированы и доведены до схем и значений параметров элементов (см. Л.2, стр. 292-295).

Эффективность ФНЧ Золотарёва может быть подтверждена примером, где к ФНЧ предъявляются довольно жёсткие требования.

Δа=0,01 Hп, a₀=5.0 Hп, _к=1,08.

 (7)

Расчёт порядка n различных фильтров, удовлетворяющий указанным требованиям, даст следующие результаты:

Число элементов равняется соответственно 7, 18, 80.

В данном примере ФНЧ Золотарёва явно оказывается вне конкуренции.

Заключение

 

Подробное изучение свойств различных фильтров позволяет сделать вывод, что в отдельных частных случаях при сравнительно широких полосах перехода минимальным числом элементов может обладать полиномиальный ФНЧ. Могут иметь место такие ситуации, когда по числу элементов ФНЧ Золотарёва и полиномиальный ФНЧ Чебышева оказываются одинаковыми. Тогда предпочтение отдают тому типу, который более полно удовлетворяет другим требованиям (габариты, технология изготовления и т.д.).

Литература, используемая для подготовки лекции

 

1.  Белецкий А.Ф. «Теория линейных электрических цепей » Москва 1986 c 368-395

2.  Белецкий А.Ф. «Линейные устройства аппаратуры связи. Конспект лекций» 3.  Бакалов В.П. «Теория электрических цепей» Москва «Радио и связь» 1998 c 372-382.