Собственные колебания пластин

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Собственные колебания пластин

Выполнила:

студентка V курса математического факультета

Чураева Анна Сергеевна

Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева

Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л.В. Ончукова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений........................................................................................................... 4

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия..................... 4

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье................................... 6

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами..................................................................................................................... 8

Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11

2.1 Основные определения............................................................................ 11

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны.............................. 12

2.3 Собственные колебания круглой мембраны.......................................... 19

Заключение.................................................................................................... 28

Библиографический список........................................................................... 29

Приложение................................................................................................... 30

Введение  Математическая физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математики. Объектом изучения математической физики могут служить только те явления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д. Цели работы: 1.  Изучить математическую литературу по данной теме.

2.  Освоить основные методы решения задач математической физики и применить их к решению задач.

Задачи работы:

1.  Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при дополнительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны.

2.  Сравнить полученные результаты для обоих случаев с аналогичными задачами, решенными для других дополнительных условий.

Методы работы:

·  Изучение специальной литературы;

·  Решение задач.

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

 Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4].

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t. Тогда  будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.

(1.1.1)

Если концы струны  закреплены, то должны выполняться граничные условия

, .

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

(1.1.2)

,

.

Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где  и  – заданные функции точки.

(1.1.1¢)

Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (1.1.1) принимают другой вид:

, ,

где  и  - заданные функции времени t.

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса x=0 отклонение

;

на свободном конце x=l натяжение пружины

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

.

Если конец x=0 движется по определенному закону , а при x=l задана сила , то

.

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x=l

 или ,

при котором конец x=l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид

.

Условие упругого закрепления при x=0 имеет вид

.

Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x=0:

- граничные условия 1-го рода  - заданный режим,

- граничное условие 2-го рода  - заданная сила,

- граничное условие 3-го рода  - упругое закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x=l. Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8].