Норма этих функций определяется формулой (2.3.12)

2.  Норма этих функций определяется формулой (2.3.12).

3.  В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:

Всякая непрерывная в интервале  функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

причем коэффициенты разложения определяются формулой

.

Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения  две собственные функции . Составим их линейную комбинацию

.

Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .

Аналогичные условия имеют место для функции .

Тогда выражение для нормы функции  можно записать в виде

Воспользуемся теоремой о разложимости:

всякая непрерывная функция  с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.

Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам

Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде

Коэффициенты  определяются из начальных условий

Аналогичные формулы имеют место для  и, соответственно, для .

Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях

и других граничных условиях

приведено в источнике [8], где были получены следующие результаты.

Коэффициенты  определяются из начальных условий

Аналогично для  и, соответственно, для .

Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб.

Заключение

В данной квалификационной работе были рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, изучен один из наиболее распространенных методов решения подобных уравнений – метод Фурье, решены две краевые задачи для уравнения колебаний прямоугольной и круглой мембраны.

По результатам решения задач можно сделать следующий вывод:

·  функция, описывающая прогиб мембраны напрямую зависит от своих граничных условий и от геометрической формы мембраны;

·  при изменении формы мембраны задача на нахождение функции, характеризующей ее прогиб, значительно усложнилась. Возникла необходимость в изучении цилиндрических функций и их свойств.

В данной работе некоторые утверждения были взяты без доказательства либо без вывода. Например, уравнение колебаний прямоугольной мембраны использовалось без вывода, т. к. его рассмотрение требует более глубокого знания законов физики. Решение цилиндрического уравнения было взято в готовой форме, т. к. не являлось целью изучения этой работы.

Таким образом, можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Библиографический список

1.  Араманович, И. Г. Уравнения математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. – М.: Наука, 1969. – С. 114 – 144.

2.  Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В. Я. Арсенин. – М.: Наука, 1974. – С. 165 – 170.

3.  Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для университетов и пед. вузов [Текст] / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий; Под. ред. В. А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 1999. – С. 695.

4.  Вебстер, А. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, Ч. I [Текст] / А. Вебстер, Г. Сеге. – М.: Гос. технико-теоретическое издательство, 1933. – С. 189 – 200.

5.  Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г. Б. Двайт; Под ред. К. А. Семендяева. – М.: Наука, 1966. – С. 161 – 178.

6.  Матвеев, Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. пос. для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – С. 131 – 187.

7.  Розет, Т. А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике [Текст] / Т. А. Розет. – М.: «Советское радио», 1956. – С. 141 – 160.

8.  Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1972. – С. 23- 44, 82-88, 426 – 427.

9.  Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа, Ч. I [Текст] / Г. М. Фихтенгольц, - СПб.: «Лань», 2002. – С. 448.

10.  Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики таблицы [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. – М.: Наука, 1977. – С. 176 – 241.

Приложение

Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению

называемому уравнением цилиндрических функций n-го порядка. Это уравнение часто называют также уравнением Бесселя n-го порядка.

(1)

Уравнение Бесселя -го порядка

(2)

или

где  - произвольное действительное или комплексное число, действительную часть которого можно считать неотрицательной.

Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде

,

где  - функция Бесселя первого рода,  - функция Бесселя второго рода  - го порядка или функция Неймана,  - произвольные постоянные.

Функция  любого положительного и целого отрицательного порядков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при .

Для действительного порядка  функции Бесселя и Неймана от действительного аргумента  будут действительными функциями , ; ,  при (рис. 1 и рис. 2).Функции  и  наиболее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [5, 7, 10].

		Рис. 1
	Рис. 2