Основные определения

2.1 Основные определения

В этой главе использованы следующие обозначения

·   - частная производная функции  по ;

·   - производная функция одной переменной.

Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки (x, y) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных

(2.1.1)

.

В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны

.

В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса  с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат  и  и времени t:

.

Выражение для оператора  в полярных координатах имеет вид

,

Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде

(2.1.2)

.

В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:

Система функций  называется ортогональной на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю:  (). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом  [1].

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны

Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением

(2.2.1)

(2.2.1)

Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b₁ и b₂, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

(2.2.2)

и граничных условиях

(2.2.3)

.

Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.

Функция  имеет вид

,

где  - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

.

А коэффициенты  и  равны:

,

.

Найдем решение задачи при других граничных условиях.

Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях

(2.2.4)

и граничных условиях

(2.2.5)

.

(2.2.6)

Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция

(2.2.7)

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции  в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на  (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем

.

Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

(2.2.8)

,

где  - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

(2.2.9)

Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :

,

а для функции  следующую краевую задачу:

(2.2.10)

 Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть

(2.2.10)

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции  в уравнение  и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду

.

Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя  (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:

1. 

2. 

где  и  - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для  и  вытекают из соответствующих условий для функции .

,

,

,

.

Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:

(2.2.11)

(2.2.12)

 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра  отрицателен, равен нулю, положителен.

1)  При  задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения  имеет вид

,

т. к. характеристическое уравнение  имеет корни .

Учитывая граничные условия, получаем:

т.к.  - действительно и положительно, то .

2)  При нетривиальных решений тоже не существует.

3)  При  общее решение уравнения  имеет вид

.

Учитывая граничные условия, получаем:

, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно

Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):

Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции

,

где  - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций  с весом единица была равна единице

.

Вычислим отдельно интегралы в равенстве:

(2.2.13)

Тогда,

 .

Число собственных функций, принадлежащих  зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

.

Собственным значениям  соответствуют решения уравнения :

,

где  и  - произвольные константы.

Возвращаясь к начальной задаче для уравнения  с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид

.

Тогда общее решение запишется в виде

,

где  определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты  и  равны:

,

.

В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.