Собственные колебания круглой мембраны

2.3  Собственные колебания круглой мембраны

Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.

(2.3.1)

Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид

.

Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях

(2.3.2)

(2.3.3)

и граничных условиях

.

Применим метод разделения переменных. Пусть

.

Подставляем полученное выражение для функции  в уравнение (2.3.1), получаем:

.

(2.3.4)

Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда

.

Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции

,

(2.3.5)

решением, которого будет функция (см. 2.2)

,

и следующую задачу на собственные значения для функции :

(2.3.6)

К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .

Поделим данное равенство на :

Так как левая часть соотношения () функция только переменной r, а правая () - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем:

1)  однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции :

Нетривиальные периодические решения для  существуют лишь при  и имеют вид (см. 2.2):

.

2)  уравнение для определения функции

(2.3.7)

(2.3.8)

Из граничных условий для функции  получаем граничные условия для функции :

Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную

Подставляем выражение  в уравнение для определения функции  и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.

(2.3.9)

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями

,

общее решение, которого имеет вид

,

где  - функция Бесселя первого рода,  - функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).

Из условия  следует, что , т. к. при .

Из условия  имеем

, где .

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений

,

(2.3.10)

которым соответствуют собственные функции

краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).

Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций  с весом r:

Для этого рассмотрим функции

Они удовлетворяют уравнениям

причем , а  не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на  и .

(2.3.11)

Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя

,

получаем выражение для квадрата нормы:

(2.3.12)

т.к. , то

.

Итак, получаем:

1.  Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r .