Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Выполнила студентка 5 курса

математического факультета Лоптева О. Н.

_____________________________/подпись/

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доц. Варанкина В. И.

_____________________________/подпись/

Рецензент:

к.ф.-м.н., доц. Здоровенко М. Ю.

_____________________________/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой_______________________ Крутихина М. В.

«____»______________________________

Декан факультета____________________ Варанкина В. И.

«____»______________________________

КИРОВ, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 1 Исходные определения

§1. Порядковые определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§2. Топологические определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

 

Глава 2

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

§1. Вполне упорядоченные множества и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

§2. Конечные цепи и их порядковые типы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§3. Порядковый тип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§4. Свойства ординальных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

§5. Пространство ординальных чисел W(₁) и его свойства. . . . . . . . . . . .18

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ВВЕДЕНИЕ

Идеи топологии были высказаны ещё выдающимися математиками 19 века: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом и Бауэром. Однако общая топология, как её понимают сейчас, ведёт начало от Хаусдорфа («Теория множеств», 1914).

Истоки теории упорядоченных и частично упорядоченных алгебраических систем лежат в геометрии, функциональном анализе и алгебре.

Линейно упорядоченные пространства, в том числе и линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, объединяют в себе две структуры: порядковую и топологическую. Систематического изложения теории пространства ординальных чисел не существует. Этим объясняется актуальность выбранной темы.

Целью дипломной работы является исследование пространства ординальных чисел, его порядковых и топологических свойств. В первой главе будут даны основные понятия теории множеств и общей топологии, а во второй главе будет введено понятие порядкового типа, установлены свойства порядковых чисел, а также проведено исследование пространства ординальных чисел, имеющее важное значение для данной работы. Будет доказана хаусдорфовость, нормальность, локальная компактность, счётная компактность, неметризуемость и некоторые другие свойства линейно упорядоченного пространства ординальных чисел.

 

 

ГЛАВА 1. Исходные определения и теоремы.

§1. ПОРЯДКОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Определение 1.1. Упорядоченным множеством называется непустое множество Х вместе с заданным на нём бинарным отношением порядка, которое:

рефлексивно: а  a;

транзитивно: a  b  c  a  c;

антисимметрично: a  b  a  a = b ( для любых a, b, cX ).

Элементы упорядоченного множества называются сравнимыми, если

а < b, a = b или b < a.

Замечание: по определению будем считать, что a < b, если a  b и a  b.

Определение 1.2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые его два элемента сравнимы.

Определение 1.3. Элемент а упорядоченного множества Х называется наименьшим (наибольшим) элементом множества АХ, если аА и а  х

 (х  а) для любого х А.

Определение 1.4. Элемент а упорядоченного множества Х называется минимальным (максимальным) элементом множества АХ, если в А нет элементов, меньших (больших) а, то есть если х  а (а  х) для некоторого х, то х = а.

Определение 1.5. Пусть А – непустое подмножество линейно упорядоченного множества Х. Элемент а из Х называется верхней (нижней) гранью множества А, если он больше (меньше) любого элемента из А.

Определение 1.6. Если множество А имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, то А называется ограниченным сверху (ограниченным снизу).

Определение 1.7. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение 1.8. Точной верхней гранью множества А называется наименьший элемент множества всех верхних граней множества А. Обозначается sup A.

Определение 1.9. Точной нижней гранью множества А называется наибольший элемент множества всех нижних граней множества А. Обозначается inf A.

Определение 1.10. Пусть <X, > - линейно упорядоченное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента. Для а, bX, a < b положим

(a, b) = {xX: a < x < b}. Такие множества будем называть интервалами в Х. Множество [a, b] = { xX : a  x  b} называется отрезком в Х.

Определение 1.11. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Определение 1.12. Пусть М и М₁– упорядоченные множества и пусть f – взаимно однозначное отображение М на М₁. Отображение сохраняет порядок, если из того, что a  b ( a, bM ), следует, что f (a)  f (b) (в М₁). Отображение f называется изоморфизмом упорядоченных множеств М и М₁, если соотношение f (a)  f (b) выполнено в том и только в том случае, если a  b. При этом множества М и М₁ называются изоморфными между собой.

§2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Определение 1.13. Топологическим пространством называется пара (Х,), состоящая из множества Х и некоторого семейства  подмножеств множества Х, удовлетворяющая следующим условиям:

1)  множество Х и Æ принадлежат  ;

2)  пересечение конечного числа множеств из  принадлежат ;

3)  объединение любого числа множеств из  принадлежит .

Условия 1 – 3 называются аксиомами топологического пространства, его элементы – точками пространства. Подмножества множества Х, принадлежащие семейству , называются открытыми в Х. Семейство  открытых подмножеств пространства Х называется также топологией на Х.

Определение 1.14. Замкнутым множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.

Определение 1.15. Окрестностью точки х топологического пространства называется любое открытое множество U, содержащее х.

Определение 1.16. Топологическое пространство Х называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 1.17. Топологическое пространство Х называется компактным, если любая его центрированная система замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.

Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).

Определение 1.18. Пространство Х называется локально компактным, если каждая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.

Определение 1.19. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если из каждого счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 1.20. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.

Определения 1.19 и 1.20 равносильны ([5]).

Определение 1.21. Пространство  называется компактификацией топологического пространства Х, если:

1)  компактно;

  2) Х – подпространство ;

3) Х плотно в .

Определение 1.22. Топологическое пространство Х называется Т₁-пространством, если для каждой пары различных точек х₁, х₂ существует открытое множество , такое, что х₁ и х₂.

Определение 1.23. Если любые две различные точки х и у топологического пространства Х имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым пространством или Т₂-пространством.

Определение 1.24. Топологическое пространство Х называется регулярным пространством, или Т₃-пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого  и каждого замкнутого множества , такого, что , существуют открытые множества U₁ и U₂, такие, что ₁, ₂ и U₁U₂= Æ.

Определение 1.25. Топологическое пространство Х называется тихоновским пространством, или Т₃-пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого  и любого замкнутого множества , такого, что , существует непрерывная функция f: , такая, что f(x)=0 и f(y)=1 для .

Определение 1.26. Топологическое пространство Х называется нормальным, или Т₄-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что АU, BV.

 

 

ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

 

§1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства.

Предложение 1.1. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядоченное множество (очевидно).

Предложение 1.2. Если f – изоморфизм вполне упорядоченного множества А в себя, то для любого элемента хА выполняется неравенство f (x)x.  (1)

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что в А есть элементы х, не удовлетворяющие неравенству (1). Тогда среди этих элементов есть наименьший, так как А является вполне упорядоченным. Обозначим его через х₁ : f (x₁)<x₁. Обозначим f (x₁) = x₀ и перепишем неравенство: х₀<х₁. Так как f – изоморфизм, то выполняется неравенство: f(x₀)<f (x₁) = x₀.

Таким образом, получили следующие неравенства: х₀< x₁ и f (x₀) < x₀ . Эти неравенства противоречат определению элемента х₁, как наименьшего из элементов х множества А, не удовлетворяющих условию f (x) < x. ■

Определение 2.1. Начальным отрезком, отсекаемым элементом аА от линейно упорядоченного множества А, называется множество А_а = {x | x  A, x < a}.

Предложение 1.3. Пусть А’ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество А не изоморфно никакому отрезку множества А’.

Доказательство:

Будем доказывать методом от противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного множества А в некоторый отрезок А_х’ подмножества А’А. Тогда f (x)  A_x’. Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением 1.2. ■

Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.

Доказательство.

Пусть А_х и А_у – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как А_х и А_у различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом ху. Пусть для определённости x < y. Тогда А_х – отрезок множества А_у и по предложению 1.3 А_х и А_у не могут быть изоморфными. ■

Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное множество В. Так как f и g различны, то существует аА: b = f (a)  b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок А_х А переходит в отрезок В_у В, где у = f (х). Поэтому отрезок А_а А  подобен отрезкам

В_b В и В_b’ B, т. е. B_b изоморфен A_a и А_а изоморфен В_b’. Следовательно, отрезок В_b изоморфен отрезку B_b’ , но это противоречит следствию 1.4. ■

Определение 2.2. Если для элемента а  А существует  элемент  а’ =

= inf {x | a < x, x  A}, то а’ называется непосредственно следующим за а.

Предложение 1.6. Если А – вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.

Доказательство.

Возьмём некоторый элемент аА, пусть а не является наибольшим элементом. Рассмотрим множество {x | x  A, x > а}. По предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’, который является точной нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а. ■

§2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ.

 

Предложение 2.1. Множество из n элементов можно линейно упорядочить n! способами.

Доказательство.

Для доказательства достаточно применить формулу числа перестановок для n-элементного множества: Р_n=n! ■

Предложение 2.2. Любое конечное линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.

Доказательство.

Пусть есть множество А – конечное линейно упорядоченное множество. Надо доказать, что А является вполне упорядоченным, то есть любое его подмножество имеет наименьший элемент. Рассмотрим произвольное множество В, являющееся подмножеством множества А. Предположим, что оно не имеет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В. Обозначим его через b₁. Так как в В нет наименьшего элемента, то в нём есть элемент b₂, такой, что b₂ < b₁. Элемент b₂не является наименьшим элементом в В, поэтому имеется элемент b₃<b₂. Повторяя это рассуждение, строим для каждого натурального n элемент b_n+1 B, причём b_n+1 < b_n.

Таким образом, получили бесконечное множество {b₁, b₂, . . . ,b_n, . . }, но это противоречит тому, что В – подмножество конечного множества А и, следовательно, само является конечным. ■

Предложение 2.3. Любые две конечные цепи, состоящие из n элементов, изоморфны.

Доказательство.

пусть есть две конечные цепи из n элементов:

a₁ < a₂ <…< a_n,

b₁ < b₂ <…< b_n.

Для каждого а_i положим f (a_i) = b_i. Очевидно, что отображение f является изоморфизмом. ■

Замечание: бесконечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности могут и не быть изоморфными. Например, множество натуральных чисел и множество целых чисел с естественными порядками. Мощности этих множеств равны, но они не являются изоморфными, так как в N есть наименьший элемент, а в Z наименьшего элемента нет.

Определение 2.3. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, изоморфных множеству А.

Будем считать, что порядковый тип пустого множества есть 0.

Обозначим через n порядковый тип n – элементного множества

N_n = {0, 1, 2,…, n - 1} с порядком 0 < 1 < 2 <…< n-1.

§3.ПОРЯДКОВЫЙ ТИП .

 

Определение 2.4. Множество натуральных чисел с естественным порядком и все изоморфные ему линейно упорядоченные множества называются множествами порядкового типа .

Предложение 3.1. Бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип  тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

1)  во множестве А имеется наименьший элемент a₀;

2)  для любого аА существует точная нижняя грань а’ во множестве {x | a < x, x  A};

3) для любого подмножества Х множества А из того, что а₀Х и Х

содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х = А.

Доказательство.

 Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)- 3). Докажем, что А имеет порядковый тип , то есть А изоморфно множеству N.

Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а₀.

Рассмотрим отображение f: N  A, заданное таким образом: f (0) = a₀,

f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно. Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m  N, пусть для определённости n < m . Из условия (2) следует, что f (n) < (f (n))’  f (m),

то есть f (n) < f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.

Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N  A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип .

 Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип . Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■

Определение 2.5. Порядковым типом ^* называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…

Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа ^*.

Доказательство.

 Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа ^*. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа ^*.

 Пусть множество А не содержит подмножество типа ^*. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b₁. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элемент b₂, для которого b₂ < b₁. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n N элемент b_n+1 B, причём:

b_n+1 < b_n.

Получили множество {b₁, b₂, … , b_n, . . .} которое является подмножеством множества А и имеет тип ^* - противоречие. ■

§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.

Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).

Определение 2.6. Порядковое число  меньше порядкового числа  (), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа  изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа .

Пусть  - некоторое ординальное число. Обозначим W() – множество всех ординальных чисел, меньших .

Теорема 4.1. Отношение  < , установленное для ординальных чисел, превращает множество W() всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа , во вполне упорядоченное множество типа .

Доказательство.

Из определения 2.6 следует, что множество W () находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков А_х произвольно выбранного множества А типа ; так как отрезки А_хвзаимно однозначно соответствуют элементам х  А, то имеем взаимно однозначное соответствие  = f (х), х  А,   W() между множеством W() и множеством А типа . При этом соответствии из х < x’ в А следует, что А_х есть отрезок множества А_х’, значит,  = f (x) <  = f (x’) в W (), и обратно. ■

Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

1)  А  В = Х;

2) А  В = Æ;

 3) для любых х  А и у  В выполняется неравенство х < у.

Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел  и  всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо  < , либо  = , либо  > .

Доказательство.

Пусть даны два ординальных числа  и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что  и  могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений:  = ,  < ,  > .

Обозначим через D множество W ()  W (). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через . Докажем неравенства , . Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D  W (). Если D = W (), то  есть порядковый тип множества W (), то есть  = . Пусть D  W (). Разбиение W () = D(W()\D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (). В самом деле, пусть х  D, у  W ()\D. Так как W () линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как хW (), хW (), то одновременно х <  и х < . Если бы было у < х, то было бы у < , у < , то есть  у  D. Итак, доказано, что х < у для любых х  D, у  W ()\D, а это и означает, что (D, W ()\D) есть сечение в W (). Пусть  <  есть первый элемент в W ()\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W () элементом , совпадает с D, то есть  есть порядковый тип множества D,  =  и  < .

Аналогично доказывается, что .

Однако, неравенства  <  и  <  не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы D, так что  было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.

Таким образом, имеются лишь следующие возможности:

1)  = ,  =  и, значит,  = ;

2)  = ,  =  и, значит,  < ;

3)  < ,  =  и, значит,  < . ■

Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.

Доказательство.

Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’  А имеет наименьший элемент.

Возьмём какой-нибудь элемент а’  A’. Если а’ – наименьший из чисел

 х  А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’)  A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■

Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество АВ, состоящее из всех элементов аА и bB. Превратим множество АВ в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а<a’ в A или b<b’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же аА, bВ, то положим a<b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если  и  есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой + порядковых типов  и .

Теорема 4.4. Пусть  - какое-нибудь ординальное число. Тогда +1 есть ординальное число, непосредственно следующее за .

Доказательство.

Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа . По определению сложения порядковых типов множество А’ типа +1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами аА. Тогда A = A’_a’, то есть  < +1.

Всякое ординальное число ’< +1 является типом некоторого отрезка А_x’ множества A’. Но если х = а’, то А_x’ = A’_a’ = A и ’ = ; если же x = a < a’, то A_x’ = A_a и ’ < . ■

Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть  и  - их порядковые типы. Если А  В, то .

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что  < . Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■

Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х (данных в любом порядке) есть ординальное число , не меньшее, чем любое из данных слагаемых х.

Доказательство.

Пусть дано некоторое ординальное число  и каждому  <  поставлено в соответствие ординальное число х. Пусть  - сумма по типу  всех ординальных чисел х; обозначим её через  =.

Если Х  - какое-нибудь множество, упорядоченное по типу х, то сумма вполне упорядоченного (по типу W ()) множества множеств Х есть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является . Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое из множеств Х, то на основании теоремы 4.5 для любого х имеем х .■

Теорема 4.7. Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.

Доказательство.

Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех элементов х множества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных х. ■

§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W (₁ ) И ЕГО СВОЙСТВА.

Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами,  - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N.

Обозначим ₁ – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W(₁) – множество всех ординальных чисел, меньших ₁. По теореме 4.1 множество W(₁) является вполне упорядоченным и имеет тип ₁, то есть |W(₁)| = ₁ – первая несчётная мощность.

Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.

Предложение 5.1. ₁ – предельное ординальное число.

Доказательство.  

Если ₁, то  - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число . Следовательно, ₁. Таким образом, никакое число ₁ не является предшествующим ₁. ■

Предложение 5.2. Среди чисел множества W(₁) бесконечно много предельных ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть ₁, тогда  - конечно или счётно. Тогда  - счётно, следовательно, ₁, поэтому ₁).■

W(₁) – линейно упорядоченное множество, так как любые его два элемента сравнимы (по теореме 4.2). Следовательно, на нём можно ввести порядковую топологию, при этом W(₁) становится линейно упорядоченным пространством. Для него выполняются общие топологические свойства линейно упорядоченных пространств:

1. Хаусдорфовость. Пространство W(₁) является хаусдорфовым пространством ([1]).

2. Нормальность. Пространство W(₁) является нормальным пространством ([1]) и, следовательно, тихоновским пространством ([3]).

3. Фундаментальная система окрестностей произвольной точки из W(₁).

Определение 2.10. Множество  окрестностей точки х образует фундаментальную систему окрестностей этой точки, если для любой окрестности U(x) точки х найдётся окрестность О(х), для которой х.

Любая точка пространства W(₁) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из открыто-замкнутых множеств, то есть для любого > 0 множество всех открыто-замкнутых интервалов [+1; ] = ={x: < x < +1}, где  образует фундаментальную систему окрестностей точки .