Навигация
4. Локальная компактность.
Лемма 5.3. W(
) компактно тогда и только тогда, когда не является предельным
ординальным числом.
Доказательство.
Необходимость. Будем доказывать методом от противного и предположим, что - предельное ординальное число. Рассмотрим множество «хвостов», то есть
множество вида W()\W(
) = {x
W():
x 
}, где – некоторое ординальное число: 
. Это замкнутые множества. Очевидно, что пересечение конечного числа «хвостов» является «хвостом», то есть не пусто. Таким образом, «хвосты» образуют центрированную систему замкнутых множеств. Так как - предельное ординальное число, то пересечение всех множеств этого семейства пусто и, следовательно, W() не компактно - противоречие. Следовательно, - не является предельным ординальным числом.
Достаточность. Проведём доказательство по индукции:
1.W(0) = Æ - очевидно компактно.
2.Индукционное предположение: пусть ’ = +1 – не предельное ординальное число. Предположим, что W(
) компактно для любого <+1.
Пусть 
- семейство открытых множеств, образующих покрытие пространства W(+1). Так как точка покрыта, то существует U
, <: [+1; ] 
U. По индукционному предположению пространство W(+1), являющееся подпространством W(+1), компактно, так как +1<+1. Поэтому конечное подсемейство F из покрывает W(+1). Тогда F
{U} – это конечное подпокрытие из , которое покрывает W(+1). Следовательно, W(+1) компактно. ■
Из этой леммы следует, что пространство W(
1) не является компактным, так как 1 - предельное ординальное число.
Предложение 5.4. Пространство W(1) локально компактно.
Доказательство.
Возьмём произвольную точку из W(1). Так как W(1), то <1 и +1<1 (так как 1 – предельное ординальное число). Следовательно, +1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности точки возьмём
открыто-замкнутое множество U() = {|
< +1} = {| 
} = W(+1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку . Следовательно, W(1) локально компактно. ■
5. Счётные множества в W(1).
Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(), если оно не ограничено сверху, т. е. (
) (
).
Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W(1) не кофинально.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W(1) существует счётное кофинальное множество S.
Докажем, что W(1) = 
:
Очевидно, что W()W(1) для любого 
S W(1).
Докажем, что W(1) .
Пусть 
W(1). Так как S кофинально, то существует S: 
. Следовательно, W().
Таким образом, W(1) = .
Заметим, что |W(1)| = 
1. Тогда 1
|S|
0. Следовательно, |S|= 1,чего быть не может, так как S – счётное множество. ■
Похожие работы
... факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики. Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, но допускающие над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными числами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает иррациональность в ...
... ячейка, а имя переменной превращается в адрес ячейки. Появление этого адреса происходит в результате работы специального оператора языка (NEW), однако его значение в большинстве случаев не используется при программировании на алгоритмических языках типа Паскаль. Условимся считать, что адрес ячейки, которая будет хранить переменную А, есть А. Или, другими словами, А - это общее имя переменной и ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... и т.д. Строятся доверительные интервалы для средних, дисперсий и коэффициентов корреляции, применяются подходящие критерии согласия. Используются методы дисперсионного, факторного и регрессионного анализа. При обобщении результатов исследования решается вопрос о репрезентативности выборки. Необходимо отметить, что эта последовательность действий, строго говоря, не является хронологической, за ...
0 комментариев