Интегралы. Дифференциальные уравнения

Интегралы

Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функция  называется первообразной для функции  на промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Если  и  – первообразные для функции  на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство

 =  + .

Множество всех первообразных для функции  на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом,

 =  + .

Свойства неопределенного интеграла

1.  Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

.

2.  Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

3.  Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть

,

где  – произвольное число.

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

5.  Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

Метод замены переменной

,

где  – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям

,

где  и  – дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида

 и ,

причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рациональную функцию  можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов вида  делают замену , а для интегралов  в общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выражений  в общем случае используется замена переменной , где .

Талица основных интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Пусть на отрезке  задана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезке  разбиения выберем некоторую точку  и положим , где . Сумму вида

 (1)

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка  на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении  к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек  и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на, обозначается , а сама функция  называется интегрируемой на отрезке , то есть

 = .

Экономический смысл интеграла. Если  – производительность труда в момент времени , то  есть объем выпускаемой продукции за промежуток . Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке  или .

Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если  непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.