1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть
,
где – некоторое число.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
.
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых
4. Если на отрезке , где
,
, то и
.
Следствие. Пусть на отрезке , где
,
, где
и
– некоторые числа. Тогда
.
Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке
, где
, то найдется такое значение
, что
.
Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке
и
– любая первообразная для
на
. Тогда определенный интеграл от функции
на
равен приращению первообразной на
на этом отрезке, то есть
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.
Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке
,
и функция
непрерывна в каждой точке
вида
, где
.
Тогда имеет место равенство
=
.
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции и
имеют непрерывные производные на отрезке
. Тогда
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции
и
такие, что
. Тогда площадь
фигуры, заключенной между кривыми
и
, на отрезке
вычисляется по формуле
Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция
. Тогда объем
тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
и
находится по формуле
.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид
.
Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.
Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение
,
которое является функцией переменных и
произвольных независимых постоянных
.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении
(1)
функция и ее частная производная
непрерывны на открытом множестве
координатной плоскости. Тогда
1. Для любой точки множества
найдется решение
уравнения (1), удовлетворяющее условию
.
2. Если два решения и
уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения
, то эти решения совпадают для всех тех значений переменной
, для которых они определены.
Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от
, либо только от
.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
или в виде
,
где ,
,
– некоторые функции переменной
;
– функции переменной
.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
,
где и
– некоторые (непрерывные) функции переменной
.
В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
, (2)
где – некоторые действительные числа,
– некоторая функция.
Если , то уравнение
(3)
называется однородным, в противном случае при уравнение (2) называется неоднородным.
Теорема. Если и
– линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид
,
Для некоторых действительных чисел и
.
Уравнение
(4)
называется характеристическим уравнением уравнения (3).
Теорема.
1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни , причем
. Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид
,
где и
– некоторые числа.
2. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень (кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид
,
где и
– некоторые числа.
... условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений , , , ……………………………… , решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных. Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0). Геометрическая ...
виде . Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде . (Для решения используется замена t=y/x)/ Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид (линейное неоднородное). (Сначала решаем уравнение - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное). Определение Уравнение вида ...
... коэффициенты an (x1), bn (x1), an (x2), bn (x2) при помощи гармонического анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а2. Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. §3.1. Дифракция излучения на сферической частице. Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Как известно, в ...
... в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями: 2.2. Формула Даламбера. Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны: (2) (3) Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик ...
0 комментариев