Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

1.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

,

где  – некоторое число.

2.  Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

3.  Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых

4.  Если на отрезке , где , , то и

.

Следствие. Пусть на отрезке , где , , где  и  – некоторые числа. Тогда

.

Теорема о среднем. Если функция  непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что

.

Теорема. Пусть функция  непрерывна на отрезке  и  – любая первообразная для  на . Тогда определенный интеграл от функции  на  равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Теорема. Пусть функция  имеет непрерывную производную на отрезке ,  и функция  непрерывна в каждой точке  вида , где .

Тогда имеет место равенство

=.

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Теорема. Пусть на отрезке  заданы непрерывные функции  и  такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми  и , на отрезке  вычисляется по формуле

Пусть на отрезке  задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем  тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями ,  и  находится по формуле

.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

.

Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.

Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение

,

которое является функцией переменных и  произвольных независимых постоянных .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении

 (1)

функция  и ее частная производная  непрерывны на открытом множестве  координатной плоскости. Тогда

1.  Для любой точки  множества  найдется решение  уравнения (1), удовлетворяющее условию .

2.  Если два решения  и  уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция  явно зависит либо только от, либо только от .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

,

где , ,  – некоторые функции переменной ;  – функции переменной .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

,

где  и  – некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция  тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, (2)

где  – некоторые действительные числа,  – некоторая функция.

Если , то уравнение

 (3)

называется однородным, в противном случае при уравнение (2) называется неоднородным.

Теорема. Если  и  – линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид

,

Для некоторых действительных чисел  и .

Уравнение

 (4)

называется характеристическим уравнением уравнения (3).

Теорема.

1.  Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид

,

где  и  – некоторые числа.

2.  Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень  (кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид

,

где  и  – некоторые числа.