Навигация
Минимизация переключательных функций с помощью карт Карно
25661
знак
0
таблиц
7
изображений
5. Минимизация переключательных функций с помощью карт Карно
Задача минимизации структурной формулы ПФ состоит в том, чтобы получить логическое выражение в минимальной дизъюнктивной нормальной форме (МДНФ) или в минимальной конъюнктивной нормальной форме (МКНФ), соответствующее заданной ПФ и содержащее наименьшее количество инверсий, конъюнкций и дизъюнкций и наименьшее число переменных (или их инверсий), над которыми выполняются операции конъюнкции и дизъюнкции.
Суть минимизации ПФ заключается в использовании закона склеивания соседних минтермов, которым на карте Карно соответствуют клетки, заполненные единицами, или соседних макстермов, которым соответствуют нулевые клетки (пустые). Минимизация путем склеивания единичных или нулевых клеток карт Карно (диаграмм Вейча) при небольшом числе переменных выполняется просто и наглядно.
Введем понятие подкуба, которое используется в теории ПФ и их минимизации. Подкуб – это совокупность 2i соседних клеток карты Карно, заполненных единицами (нулями), для которых по крайней мере одна переменная в координатах всех этих 2iклеток имеет неодинаковые значения (0 и 1). Из определения следует, что подкуб могут образовать 2, 4, 8, 16 и т.д. соседних клетки карты.
Каждый 2i-клеточный подкуб позволяет при минимизации исключить i переменных – 1,2,3,4 и т.д. Действительно, подкуб, состоящий из двух клеток, соседних по горизонтали или вертикали (рис.2,а,б,в,г) характеризуется тем, что координаты его клеток различаются значением одной переменной, а остальные переменные имеют одинаковое значение.
Переменная, значения которой для этих клеток различны (0 и 1), в соответствии с законом склеивания исчезает. Четырехклеточный подкуб содержит клетки, координаты которых различаются значениями двух переменных (рис.3,а,б,в), следовательно, четырехклеточный подкуб позволяет исключить две переменные. Восьмиклеточный подкуб позволяет исключить три переменные (рис.3,г,д).
Все минтермы (макстермы), вошедшие в подкуб, склеиваются за один прием. Результатом склеивания таких клеток является получение конъюнктивного терма (если склеиваются единичные клетки) или дизъюнктивного терма (если склеиваются нулевые клетки).
Контерм (конъюнктивный терм) – результат склеивания соседних минтермов, входящих в подкуб (соседних единичных клеток). В алгебраическом представлении контерм - есть конъюнкция переменных, имеющих неизменное значение в координатах строк и столбцов всех объединяемых клеток; если неизменное значение переменной в координатах равно 1, то в конъюнкции она записывается без инверсии, если равна 0 – то с инверсией.
На рис.2,а,б,в приведены примеры записи контермов 
для двухклеточных подкубов, а на рис.3,а,б,в,г,д – четырехклеточных (
) и восьмиклеточных (
).
МДНФ – есть дизъюнкция контермов.
Пример: МДНФ для ПФ y9 (рис.3,е) как результат минимизации по единичным значениям функции имеет вид:
. (5)
Дизтерм (дизъюнктивный терм) – результат склеивания соседних макстермов, входящих в подкуб (соседних нулевых клеток). В алгебраическом представлении дизтерм - есть дизъюнкция переменных, имеющих неизменное значение в координатах строк и столбцов всех объединяемых клеток; если неизменное значение переменной в координатах равно 1, то в дизъюнкции она записывается с инверсией, если равна 0 – то без инверсии.
Для ПФ y9 (рис.3,ж) построенные подкубы имеют следующие дизтермы: 
МКНФ – есть конъюнкция дизтермов.
Пример: МКНФ для ПФ y9 (рис.3,ж) как результат минимизации по нулевым значениям функции имеет вид:
(
) (
) (
). (6)
Ранги контермов или дизтермов, которые входят в логическое уравнение МДНФ или МКНФ переключательной функции, в общем случае не одинаковы.
Общие правила минимизации функций, справедливые для любого числа логических переменных:
- прямоугольные области карты Карно, составляющие подкубы, могут состоять из 1, 2, 4, 8, 16 и т.д. только единичных клеток (при получении МДНФ) или только нулевых клеток (при получении МКНФ);
- для подкубов выбирается минимальный вариант их построения на карте Карно, при котором число подкубов минимально, а их размеры максимальны;
- клетки карты Карно могут неоднократно входить в разные подкубы, если это необходимо для увеличения их размеров и уменьшения их количества.
При минимизации неполностью определенных функций факультативные клетки, обозначенные на карте знаком 
, могут включаться в подкубы соседних клеток в тех случаях, когда позволяют сформировать
подкуб либо большего размера, либо такой, который охватит клетки, ранее не включенные ни в один подкуб. Включение клеток со знаком в подкубы соответствует доопределению функции на соответствующих этим клеткам наборах.
Формирование подкубов с включением в них факультативных клеток позволяет получать более простые, как правило, структурные формулы МДНФ или МКНФ. Минимизация функции 
, приведенной на рис.4,а, отличающейся от функции 
(рис.3,е) только наличием факультативных клеток, показывает, что включение клеток со знаком в подкубы позволяет получить выражение функции:
, (7)
которое существенно проще, чем (5) или (6). Существенное различие в сложности формул может иметь место и при минимизации неполностью определенной логической функции при использовании единичных клеток и нулевых клеток (МДНФ и МКНФ). Для функции 
, приведенной на рис.4,б, объединение нулевых клеток в подкубы 
и 
дает минимизированное выражение (МКНФ): 
= (
) (
). МДНФ для функции (рис.4,в) сложнее: 
= 
.
Похожие работы
... базис применением теорем де Моргана в любой последовательности. Последнее справедливо, в силу того, что применение теорем де Моргана не изменяет числа букв в выражении. 3.Проектирование комбинационных схем с учетом коэффициентов объединения по входу и выходу Допустимая величина коэффициента объединения по входу (І) в реальных условиях проектирования КС оказывает существенное влияние на ...
... D=1- W3W4(W1W5W6+ W7+ W1W8+ W2W6 W7+ W2W7+2W2W8+ 1)+ W5W6(W3W4(W7+ W1W5W6+ W2W7+ W2W8+1)-1) Для x1 Для x4 Для y Для х13 Задание 2. Синтез комбинационных схем. 2.1 Определение поставленной задачи Устройство, работа которого может быть представлена на языке алгебры высказываний, принято называть логическим. Пусть такое устройство имеет n ...
... 1 1 0 1 0 0 14 1 1 1 0 0 0 15 1 1 1 1 0 1 Для выполнения синтеза логической схемы необходимо произвести следующие действия: 1.по таблице истинности составить логические уравнения для каждого выхода в виде СДНФ и СКНФ; 2.для получения наиболее простой логической схемы выполнить минимизацию функций, записанных в СДНФ и СКНФ, используя метод непосредственных преобразований; 3. ...
... чертеж или схема выполняются в САПР AutoCAD, поэтому наиболее часто используемой вспомогательной программой является конвертор из формата P-CAD в AutoCAD. 1. Основы математического аппарата анализа и синтеза комбинационных логических устройств Все устройства, оперирующие с двоичной информацией, подразделяются на два класса: - комбинационные (дискретные автоматы без памяти). - ...
0 комментариев