Использование математических методов и прикладного пакета Excel для прогнозирования

3 Использование математических методов и прикладного пакета Excel для прогнозирования

3.1 Общее описание используемого метода

Простые линейные регрессионные модели устанавливают линейную зависимость между двумя переменными, например затратами на отпуск и составом семьи; затратами на рекламу и объемом выпускаемой продукции, затратами на проживание и валовым национальным продуктом (ВНП); изменением ВНП в зависимости от времени и т.д.

При этом одна из переменных считается зависимой переменной (y) и рассматривается как функция от независимой переменной (x).

В общем виде простая выборочная регрессионная модель записывается так:

 (3.1)

где

y – вектор наблюдений за зависимой переменной; ;

x – вектор наблюдений за независимой переменной;

 - неизвестные параметры регрессионной модели;

e – вектор случайных величин (ошибок); ;

Регрессионная модель называется линейной, если она линейная по своим параметрам. Итак, модель (3.1) есть линейная регрессионная модель. Ее еще можно трактовать и как прямую на плоскости, где  - пересечение с осью ординат, а  - наклон (естественно, если абстрагироваться от случайной величены e).

Чтобы иметь явный вид зависимости, необходимо найти (оценить) неизвестные параметры  этой модели. Как это сделать? Каким критерием лучше пользоваться?

В общем есть неограниченное количество прямых , которые можно провести через множество наблюдаемых точек. Какую же из них выбрать? Чтобы это узнать, необходимо иметь в распоряжении критерий, который позволил бы выбрать из множества прямых «наилучшую» с точки зрения донного критерия. Наиболее распространенным является критерий минимизации суммы квадратов отклонений. Например, одна прямая из множества, расположена таким образом, что некоторые точки находятся выше, некоторые ниже этой прямой, на основе чего можно установить отклонения (ошибки) относительно этой прямой:

 , (3.2)

где

 - тая точка на прямой, которая соответствует значению  (см.рис.3.1).

Отклонения, или ошибки, еще иногда называют остатками. Логично, что надо проводить таким образом, чтобы сумма квадратов ошибок была минимальной. На этом и основывается критерий наименьших квадратов: неизвестные параметры  и  определяются таким образом, чтобы минимизировать

Итак, согласно критерию имеем

 (3.3)

Определим значения  и , которые минимизируют выражение (3.3). Минимум функции (3.3) достигается при необходимых условиях, когда первые данные приравнивают к нулю, т.е.:

  (3.4)

 (3.5)

откуда получаем систему линейных уравнений:

 (3.6)

которая называется нормальной.

Решение (3.6) относительно наклона прямой (неизвестная ) дает

 (3.7)

Для того, чтобы упростить выражение для  числитель и знаменатель выражения (3.7) умножим на .

Получим:

 (3.8)

где

Выражение (3.8) можно записать еще и таким образом:

 (3.9)

Таким образом,

 (3.10)

 (3.11)

Числитель (3.9) есть не что иное, как коэффициент ковариации между x и у. Согласно определению, коэффициент ковариации между двумя переменными х и у определяется по формуле:

 (3.12)

Знаменатель (3.9) есть дисперсия величины x, т.е.

 (3.13)

Итак, угол наклона прямой регрессии можно определить как по формуле (3.7), так и по формуле (3.8) и (3.9).

Для определения параметра  вернемся к (3.5). Имеем:

 (3.14)

Выражение (3.14) дает нам, во-первых, подтверждение того, что сумма ошибок равна нулю. Таким образом,

 (3.15)

во-вторых, разделив (3.14) на , имеем выражение для определения :

   (3.16)

Таким образом, мы нашли формулы для определения неизвестных параметров  и , и можем записать в наглядном виде регрессию у от x, в которой параметры выведены с помощью метода наименьших квадратов. Ее иногда называют регрессией наименьших квадратов у от x. Имеем:

 (3.17)

или

 (3.18)

Похожие работы

Замеры и прогнозирование спроса на рынке

Скачать

27038

0

0

... количестве или неравномерно.   1.2 ПОТЕНЦИАЛ РЫНКА   Потенциал рынка — это объем определенного товара, услуги, который может быть потреблен рынком за единицу времени.   1.3 ПРОГНОЗ СПРОСА   При изучении и прогнозировании спроса на товары и услуги предприятия наиболее распространены методы основанные на экспертных суждениях. 1. Метод основанный на суждении менеджеров: В данном случае ...

Рынок рекламы как часть экономической системы

Скачать

266138

15

10

... единицу вложенных средств в российский рынок Интернет-рекламы выше средней. Государственный Университет Управления На правах рукописи РОСТОВЦЕВ Андрей Игоревич Специальность 08.00.01 - Политическая экономия Рынок рекламы как часть экономической системы Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель доктор экономических наук профессор Рулев В.М. Москва ...

Система учета затрат торгового предприятия

Скачать

120551

4

9

... уровень, наличие и стоимость сырья, технологические особенности), и кто несет ответственность за неблагоприятные отклонения. Платформой для внедрения бюджетирования на предприятии является управленческий учет - система учета фактических затрат и расчета экономических показателей. Итак, ключевые слова при описании бюджетирования - это планы, отклонения, нормативы, управленческий учет, управление ...

Прогнозирование финансовой деятельности предприятия

Скачать

36980

29

2

... убытки. Таким образом, все показатели операционной деятельности свидетельствуют об эффективности и прибыльности выбранного вида деятельности. РАЗДЕЛ 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Прогнозирование показателей финансовой деятельности предприятия включает: 1.  Прогнозирование потоков денежных средств 2.  Прогнозирование показателей отчета о финансовых ...