Теоретические основы методов отсечения

2. Теоретические основы методов отсечения

Запишем общую задачу целочисленного программирования: в области, определенной условиями

(11)

(12)

- целые, (13)

максимизировать функцию

(14)

Назовем для кратности задачу (11–14) (£^ц, C) – задачей. Соответствующую ей задачу без требования целочисленности переменных, т.е. задачу (11, 12, 14) назовем (£, C) – задачей. Поставим вопрос: нельзя ли решение (£^ц, C) – задачи получить путем решения некоторой специальным образом построенной задачи без требования целочисленности переменных и такой, что оптимальные решения исходной (£^ц, C) – задачи и задачи без требований целочисленности переменных будут совпадать. Другими словами: нельзя ли хорошо изученный аппарат решения задач линейного программирования приспособить к решению целочисленных задач. Принципиальный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Пусть £ – многогранник, £^ц – множество его целых точек, R – выпуклая, линейная оболочка множества £^ц, тогда:

1) R=R^ц – целочисленный многогранник;

2) R^ц = £^ц;

3) R* – множество опорных решений задачи (£^ц, C) содержится в многограннике R^ц.

Доказательство. Докажем, что R – целочисленный многогранник. По условию теоремы £ – многогранник, поэтому множество его целых точек (оно обозначено через £^ц) конечно. Поскольку R – выпуклая линейная оболочка этого конечного множества точек, R – тоже многогранник.

По самому определению выпуклой линейной оболочки, она содержит все опорные планы множества, на которое она натянута, т.е. многогранник R содержит все целочисленные точки £^ц. Поэтому R – целочисленный многогранник. Обозначим его через R^ц. Первая часть теоремы доказана.

Докажем, что R^ц совпадает с £^ц. Так как R – выпуклая оболочка точек множества £^ц, то £^ц ÍR^ц.

Покажем, что справедливо также и противоположное неравенство–включение, т.е. R^цÍ£^ц. Для этого выберем некоторый произвольный элемент х°ÎR^ц. Поскольку R^ц содержит все опорные решения задачи (£^ц, C), то х° удовлетворяет условиям задачи (£^ц, C), т.е. х°Î£^ц. Но поскольку произвольный элемент из R^цпринадлежит £^ц, то очевидно, что справедливоR^цÍ£^ц. Сопоставляя противоположные включения R^цÍ£^ц и £^цÍR^ц приходим к выводу: что £^ц=R^ц. Вторая часть теоремы также доказана.

Доказательство 3-го пункта теоремы является совершенно очевидным. Так как R^* – множество опорных решений задачи (£^ц, C), то R^*Í£^ц но £^ц=R^ц, поэтому R^*ÍR^ц

Теорема доказана.

Следствием из этой теоремы является тот вывод, что оптимальное решение задачи, областью определения которой является выпуклая оболочка, натянутая на область поиска целочисленного решения, совпадает с оптимальным решением исходной целочисленной задачи.

Доказанная теорема и следствие из нее показывают принципиальную возможность замены решения задачи типа (£^ц, C) некоторой процедурой построения и решения вспомогательной задачи типа (£, C), однако не дают алгоритма решений. К тому же построение выпуклой оболочки множества £^ц реальных задач – чрезвычайно сложная, а подчас практически неразрешимая задача,

В 1954 г. Дж. Данциг высказал идею о том, что построение выпуклой оболочки целочисленной области для задачи (£^ц, C) можно осуществлять поэтапно и решать получаемые при этом задачи. Однако при этом возникли вопросы как строить ограничения новой задачи и как обеспечить конечность процесса.

Ответ на эти вопросы был впервые получен Р. Гомори, который предложил алгоритмы решения целочисленных и. частично целочисленных задач.

Алгоритм Р. Гомори состоит из следующих процедур:

1.  Решается (£, C) – задача, соответствующая исходной (£^ц, C) – задаче.

2.  Полученное оптимальное решение (£, C) – задачи, если оно существует, проверяется на целочисленность. Если условие целочисленности выполняется по всем переменным, то оптимальное решение (£, C) – задачи есть оптимальное решение (£^ц, C) – задачи. Если условие целочисленности не выполняется хотя бы по одной координате, то переходят к третьему этапу. Если (£, C) – задача, оказывается неразрешимой, то (£^ц, C) – задача тоже решения не имеет.

3.  Строится дополнительное ограничение, обладающее тем свойством, что с его помощью отсекается часть области, в которой содержится оптимальное решение (£, C) – задачи и не содержится ни одного допустимого решения (£^ц, C) – задачи. Процесс построения дополнительных ограничений и решения получаемых при этом (£, C) – задач продолжается до тех пор, пока не получим целочисленного решения или не убедимся в неразрешимости задачи.

При этом свойства, которыми должно обладать каждое из дополнительных ограничений при переходе от одной задачи к другой следующие:

1)  дополнительное ограничение должно быть линейным, чтобы оставаться в области применимости аппарата линейного программирования;

2)  дополнительное ограничение должно отсекать часть области, в которой не содержится допустимых решений целочисленной (£^ц, C) – задачи, но есть найденное оптимальное решение нецелочисленной (£, C) – задачи, т.е. ограничение должно обладать свойством правильности, которое не позволяет потерять оптимальное решение исходной (£^ц, C) – задачи.

Пусть х (£, C) – оптимальное решение (£, C) – задачи, которое является недопустимым решением для (£^ц, C) – задачи. Неравенство

(15)

определяет правильное отсечение, если удовлетворяет

а) условию отсечения: x(£, C) удовлетворяет неравенству (15)

б) условию правильности: любое допустимое решение задачи (£^ц, C), удовлетворяет неравенству (15).

Методы, основанные на использовании процедуры построения правильных отсечений, получили название методов отсечения.

Похожие работы

Решения задачи планирования производства симплекс методом

Скачать

82416

8

19

... 0 505/103 0 792/103 669/103 500/103 Анализ Таблицы 6 позволяет сделать вывод о допустимости и оптимальности базиса XБ4=(x5, x7, x1, x2, x4)T. 3.4 Результат решения задачи планирования производства В результате решения поставленной задачи симплекс-методом получили набор производимой продукции x=(x1, x2, x3, x4, x5)=( 15145/103, 8910/103, 0, 1250/103, 3255/103), который удовлетворяет всем ...

Методы исследования операций

Скачать

41740

5

1

... , 6)  сетевого планирования и управления, 7)  выбора маршрута, 8)  комбинированные. Из перечисленных выше методов математического программирования наиболее развитым и законченным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций. Линейное программирование Несмотря на требование линейности целевой функции и ограничений, в рамки линейного ...

Математические методы в экономике

Скачать

29780

1

3

... план будет найден. Заключение. Задачи экономической науки, требующие применения математики Имеется ряд определений предмета экономической теории. Из них вытекает необходимость экономико-математических методов, причем требуется самая изощренная современная математика, как теоретическая, так и прикладная. Фактически существует такая дисциплина, как математическая экономика, которая у ряда ...

Блочно-симметричные модели и методы проектирования систем обработки данных

Скачать

158931

0

1

... дискретного программирование для решения задач проектирование систем обработки данных. -  Сформулированы задачи диссертационного исследования. 2. БЛОЧНО-СИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ В данном разделе рассматриваются общая постановка блочно-симметричной задачи дискретного программирования, её особенности и свойства. Разработан общий подход решения задач ...