Дистрибутивные решётки

3.  Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка  называется дистрибутивной, если для  выполняется:

1.

2.

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка  с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).

Определение: Непустое множество  называется идеалом в решётке , если выполняются условия:

1.

2.

Определение: Идеал  в решётке  называется простым, если

 или .

Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки  и  называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества  на множество , такое, что

,

.

4. Топологические пространства.

Определение: Топологическое пространство – это непустое множество  с некоторой системой  выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:

1.  Пустое множество и само пространство  принадлежит системе : .

2.  Пересечение любого конечного числа множеств из  принадлежит , т.е. .

3.  Объединение любого семейства множеств из  принадлежит , т.е. .

Таким образом, топологическое пространство – это пара <, >, где  - такое множество подмножеств в , что  и  замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из  называют открытыми, а их дополнения в  замкнутыми.

Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Топологическое пространство называется  - пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.

Глава 2.