Верхние полурешётки

Решётки Дистрибутивные решётки Верхние полурешётки Стоуново пространство

16370

знаков

таблиц

изображений

Дистрибутивные решётки Читать далее: Стоуново пространство

1. Верхние полурешётки.

Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.

Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых включение имеет место тогда и только тогда, когда .

Определение: Верхняя полурешётка называется дистрибутивной, если неравенство ≤ (, , L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и = .(рис.1). Заметим, что элементы и не обязательно единственны.

Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:

Лемма 1:

(*). Если <, > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна.

(**). Если верхняя полурешётка дистрибутивна, то для любых существует элемент , такой, что и . Следовательно, множество является решёткой.

(***). Верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество является дистрибутивной решёткой.

Доказательство.

(*). <, > - дистрибутивна и , то для элементов , , справедливо равенство :

значит, полурешётка <,> - дистрибутивна.

<,> - дистрибутивна. Пусть решётка содержит диамант или пентагон (рис.2).

1) Пусть решётка содержит пентагон, . Нужно найти такие элементы и , чтобы выполнялось равенство . Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что <,> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка не содержит пентагона.

2) Пусть решётка содержит диамант, . Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит, решётка не содержит диаманта.

Можно сделать вывод, что решётка дистрибутивна.

(**). Имеем , поэтому , где (по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, является нижней границей элементов и .

Рассмотрим идеалы, содержащие элемент и - и . Тогда Ø ,т.к. , нижняя граница элементов a и b, содержится там.

Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.

Покажем, что совпадает с пересечением идеалов A и B. Во-первых, - идеал. Действительно, и и Во-вторых, пусть идеал и . Тогда , т.е. - точная нижняя грань идеалов A и B, т.е. .

Теперь покажем, что совпадает с пересечением всех идеалов , содержащих A и B. Обозначим . Поскольку для для , то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.

(***). Пусть – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что

Пусть , т.е. (рис.3), для некоторых

Понятно, что . По дистрибутивности, существуют такие, что . Т.к. A – идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что .

Доказали, что - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C будет содержать элементы для любых , т.е. Поэтому , поскольку является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.