Традиционные методы вычислительной томографии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Д.Н. Карпинский

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к разделу «Традиционные методы вычислительной томографии» спецкурса «Применение томографических методов в медицинской диагностике»

для студентов специальности «Прикладная математика»

Ростов-на-Дону

2007

Печатается по решению кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол N1 от 10 сентября 2007 года.

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории упругости Д.Н.Карпинским.

1. ВВЕДЕНИЕ

Томография - одно из бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта. Основная проблема томографии - как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным данным (например, по рентгеновским снимкам) "увидеть" внутреннюю структуру анализируемого объекта. Область математики, в которой разрабатываются методы решения подобных задач, известна как "интегральная геометрия" [1].

Хронология развития вычислительной томографии:

1895 г. – открытие рентгеновских лучей;

1917 г. – преобразование Радона;

1920 г. – рентгенограмма в медицине;

1930 г. – линейная томография, вращательная томография;

1942 г. – РВТ в радиоастрономии;

1961 г. – сверточный алгоритм;

1964 г. – алгоритм РВТ А. Кормака;

1972 г. – серийный томограф Г. Хаунсфилда;

1977 г. – учебный курс по вычислительной томографии в университете штата Нью-Йорк;

1979 г. – Нобелевская премия А. Кормаку и Г. Хаунсфилду.

1.2 В настоящее время существуют следующие виды томографии:

1)  рентгеновская томография;

2)  радионуклеидная томография;

3)  ЯМР – томография;

4)  ультразвуковая томография;

5)  оптическая томография;

6)  протонно-ионная томография;

7)  томография в радиодиапазоне;

8)  ЭПР - томография.

Особенно важное значение методы томографии имеют для медицинской диагностики [2].

Все виды томографии по свойствам изучаемых объектов можно разделить на два больших класса: трансмиссионную вычислительную томографию (ТВТ) и эмиссионную вычислительную томографию (ЭВТ). В ТВТ внешнее излучение зондирует пассивный (неизлучающий) объект, частично поглощаясь им. В ЭВТ активный (излучающий) объект представляет собой пространственное распределение источников излучения, при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучение является суперпозицией излучений всех источников, лежащих на линии проецирования.

Рассмотрим вначале физический закон распространения внешнего излучения в веществе. Пусть тонкий пучок, например - излучения, с интенсивностью  падает на слой вещества с распределением линейного коэффициента поглощения (ослабления)  вдоль распространения пучка. При этом феноменологически  определяют через вероятность  поглощения - кванта при прохождении элементарного пути  соотношением .

Рисунок 1. К выводу уравнения переноса излучения (1.1).

Стационарное уравнение переноса излучения в чисто поглощающей неоднородной среде, описывающее процесс излучения в веществе, представляет собой баланс частиц или энергии и имеет вид

 (1.1)

Решением уравнения (2.1) будет закон Бугера-Ламберта-Бэра для неоднородной поглощающей среды, который составляет основу расчетов ТВТ.

 , (1.2)

где  - интенсивность источника излучения.

Рассмотрим теперь закон распространения излучения при действии внутренних источников излучения (самоизлучающие объекты).

Рисунок 2. К выводу закона переноса излучения при действии внутреннего источника.

Пусть точечный источник излучает в телесный угол  с интенсивностью  в веществе с распределением линейного коэффициента ослабления  вдоль прямой, соединяющей источник с небольшой площадкой , наклоненной под углом  к этой прямой. Тогда для интенсивности , приходящейся на площадку , получаем [3]

 . (1.3)

Выражение (1.3) учитывает четыре основных фактора: пространственное распределение источника излучения, геометрическое ослабление, ослабление излучения в веществе и наклон площадки детектора. Формула (1.3) лежит в основе ЭВТ.