Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса

Математический факультет Кафедра информатики и прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Брест 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

 

Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

.

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом  =  называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или  - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или  подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

,

при условии, что

.

 

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса  называется функция вида

где , если  и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

 

Смешанным моментом  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , .

Заметим, что

,

.

 

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.

 

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

тогда

Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса  в точках . Введем функцию

,

которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент  го порядка, , можно также определить как

, , .

 

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом)  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

,

,

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества

 

, , , , .

При

,

,

.

При

 

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

Из определения видно, что спектральная плотность  непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

 

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта  го порядка, , случайного процесса  справедливы представления

,.

Пусть  - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и

- мерная функция распределения, где

Случайный процесс  называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых  и любого , такого что  выполняется соотношение

где

Возьмем произвольное . Пусть , тогда

В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать

Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать

 

Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП  будем обозначать

 

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если  и

 

Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и  то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида

 ,

при условии, что

 

Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида

 

при условии, что

Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП  справедливо следующее соотношение

 .

Для  эти соотношения примут вид

 .