УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений  за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке  рассмотрим статистику

 (2.1)

где  , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция,  для , а

 (2.2)

s – целое число, - целая часть числа .

Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

 (2.3)

определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка  взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде

 (2.4)

где некоторые действительные функции, не зависящие от T,

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику

,

и исследуем первый момент построенной оценки.

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее

Использовав соотношение (2.4), получим

где

  

Поскольку

следовательно, оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку

где

, то оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку

 (2.5)

Найдем математическое ожидание построенной оценки :

где

  

Следовательно, оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов  в представлении (2.4),

Видим, что

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка  взаимной спектральной плотности  стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению

 

,

,

 при условии, что справедливо соотношение (2.4) для

При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида

 (2.6)

где  задаются соотношением