Универсальная тригонометрическая подстановка

Контрольная работа

 

Дисциплина:

«Высшая математика»

 

Тема:

 

«Универсальная тригонометрическая подстановка»

 

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например,

, , .

В то же время функция  рациональной не является.

Теорема. Интеграл вида  с помощью подстановки  преобразуется в интеграл от рациональной дроби.

Для доказательства выразим ,  и  через :

;

;

.

В результате проведенных преобразований ,  и  превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:

.

В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.

Подстановка

, , ,

называется универсальной тригонометрической подстановкой.

2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.

1. Интегралы типа  удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда  и получаем простой интеграл .

2. Интегралы типа  удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда  и интеграл приводится к виду .

3. Если подынтегральная функция зависит только от  (), то удобна замена . В этом случае  и . В результате получаем .

4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней  и , то есть , то в этом случае также удобна замена . При этом:

;

;

.

Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть дан интеграл , где  и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что . Тогда

.

Далее делается замена , и получаем .

6. Пусть дан интеграл , где  и  неотрицательные и четные. Положим, что , . Тогда

; .

Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле , получаем снова случаи 5 или 6.

7. Пусть дан , где  и  – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.

8. В случае  используется тригонометрическая формула

и интеграл превращается в два табличных интеграла.

9. В случае  используется тригонометрическая формула

.

10. В случае  используется тригонометрическая формула

.

3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида

Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от и . Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:

, , .

Следующий шаг:

1)   рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Замена переменной в неопределённом интеграле.

2)   рационализируется подстановкой  (или , или ).

3)   рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или x = a sh t).

Пример 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t.

,

поэтому

или

.

Пример 2.