Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.
План.
1. Определение функции многих переменных.
2. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.
3. Частные производные.
1. Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.
Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х;...;х
)
D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(х
;...;х
).
Множество точек М(х;...;х
), для которых функция и= f(х
;...;х
) определена, называют
областью определения этой функции и обозначают D(f).
Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.
Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.
Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).
2. Обозначим через (М;М
) расстояние между точками М и М
. Если п=2, М(х;у), М
(х
;у
), то
(М;М
)=
.
В п-мерном пространстве
(М;М
)=
.
Пусть на множестве D задано функцию и=f(М).
Число А называется пределом функции и=f(М) в точке М, если для произвольного числа
>0 найдётся такое число
>0, что для всех точек М
D, которые удовлетворяют условию 0<
(М;М
)<
, выполняется неравенство
.
Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке М конечные пределы, то
1. = с
,
2. =
,
3. =
.
4. если
.
Заметим, что если предел существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М
.
Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М, если
= f(М
).
Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.
Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z=
имеет разрыв на параболе
3. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М
)<
, называют
-окрестностью точки М
.
Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М(x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+
;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину
,
которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.
Аналогично величину
называют частичным приращением функции по переменной у.
Если существует предел
,
то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М(x;у) по переменной х и обозначают такими символами:
,
,
,
.
Аналогично
=
.
Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.
Частные производные от частных производных ,
функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:
,
,
,
.
Производные и
называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.
План.
1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.
2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.
3. Локальные экстремумы функции высших порядков.
1. Пусть функция z=f(x;у) непрерывна в некоторой окрестности точки М(x;у) вместе со своими частными производными (х;у),
(х;у). Выберем приращение
и
так, чтобы точка (х+
;у+
) принадлежала рассматриваемой окрестности.
Если полное приращение функции z=f(x;у) в точке М(x;у)
= f(x+
;у+
)- f(x;у)
можно записать в виде
=
(х;у)
+
(х;у)
+
,
где - бесконечно малые функции при
,
, то функция z=f(x;у) называется дифференцированной в точке М(x;у), а линейная относительно
и
часть её полного приращения
называется полным дифференциалом функции и обозначается
dz=+
.
Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх=, dу=
. Поэтому
dz= dх +
dу,
или в других обозначениях
dz= dх +
dу.
Для функции трёх переменных и= f(x;у; z)
dи= dх +
dу+
dz.
Полный дифференциал функции z=f(x;у)
dz= dх +
dу,
который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.
Дифференциалы второго порядка определяют по формуле
d2 z= d(dz).
Тогда
d2 z= d(dх+
dу)=
(
dх+
dу) dх+
(
dх+
dу) dу=
dх2+
dу dх+
+ dх dу+
dу2,
откуда
d2 z=dх2+2
dх dу+
dу2.
Символически это можно записать так:
d2 z=(dх+
dу)2 z.
Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п-го порядка:
dп z= d(dп-1 z) =(dх+
dу)п z.
2. Производная функции z=f(x;у) в направлении вектора вычисляется по формуле
+
,
где ,
- направляющие косинусы вектора
:
=
,
=
.
Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора
.
Градиентом функции z=f(x;у) называется вектор
grad z=(,
).
Свойства градиента
1. Производная имеет наибольшее значение, если направление вектора
совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно
.
... (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0. Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция ...
... p и q, получим некоторые наборы (в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума. 3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска 3.1 Описание метода покоординатного спуска Изложим этот метод на примере функции трех переменных . Выберем нулевое приближение . Фиксируем значения двух координат . Тогда функция будет зависеть только от одной переменной ; ...
... , Флетчера-Ривса). Методы второго порядка, использующие, кроме того, и информацию о вторых производных функции f (x) (метод Ньютона и его модификации). Метод конфигураций (Хука - Дживса) Следует выделить два этапа метода конфигураций: 1) исследование с циклическим изменением переменных и 2) ускорение поиска по образцам. Исследующий поиск начинается в точке х0, называемой старым базисом. ...
... , что и ошибки эксперимента, то итерации надо прекращать. Поскольку вблизи минимума чаще всего ~, то небольшая погрешность функции приводит к появлению довольно большой области неопределенности ~. 2. Минимум функции многих переменных 2.1 Рельеф функции Основные трудности многомерного случая удобно рассмотреть на примере функции двух переменных . Она описывает некоторую поверхность в ...
0 комментариев