Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2008 г.

Курсовая работа

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Исполнитель:

студент группы М-51 С.М. Горский

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2008

Оглавление

Введение

Абсолютная величина и её свойства

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

Метод раскрытия модулей

Использование тождества, при решении уравнений

Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Решение уравнений с использованием тождества

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Решение уравнений переходом к следствию

Решение уравнений методом интервалов

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

Заключение

Список использованных источников

Введение

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел и пытается восполнить настоящий диплом.

Дипломная работа состоит из 5 разделов.

В первом разделе приведены равносильные определения модуля, его геометрическая интерпретация, свойства абсолютной величины. На примере показано, как используя модуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Так же показано на примере, как линейный сплайн, предствавить в виде одного уравнения с модулями. Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойства модуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины, возникают в процессе решения.

Во втором разделе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей.

В третьем разделе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этом разделе рассмотрены построение графиков функций ,  и . Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиков функций с ``вложенными'' модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.

В четвертом разделе представлены дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описан трудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый метод раскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можно решить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использования тождества ; рассмотрены метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель.

В пятом разделе приведены примеры решения типовых тестовых задач связанных с понятием абсолютная величина. Приведены решения как ``стандартных'' задач, в решении которых необходимо получить какую-либо комбинацию решений, так и заданий с параметрами. Для некоторых задач приведено несколько способов решения, иногда указаны типичные ошибки возникающие в процессе решения. Для всех заданий приведено наиболее эффективное, по быстроте, решение.

Абсолютная величина и её свойства

Модуль. Свойства модуля

Определение. Модуль числа  или абсолютная величина числа  равна , если  больше или равно нулю и равна , если  меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа , .

Теорема  Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел  или .

1. Если число  положительно, то  отрицательно, т. е. . Отсюда следует, что .

В этом случае , т. е.  совпадает с большим из двух чисел  и .

2. Если  отрицательно, тогда  положительно и , т. е. большим числом является . По определению, в этом случае,  --- снова, равно большему из двух чисел  и .

Следствие  Из теоремы следует, что .

В самом деле, как , так и  равны большему из чисел  и , а значит, равны между собой.

Следствие  Для любого действительного числа  справедливы неравенства , .

Умножая второе равенство  на  (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: ,  справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .

Теорема  Абсолютная величина любого действительного числа  равна арифметическому квадратному корню из : .

В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .

Если , тогда  и  и в этом случае .

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять  на .

Геометрически  означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.

Если , то на координатной прямой существует две точки  и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если , то на координатной прямой  изображается точкой .

Свойства модуля

Из этого свойства следует, что ; .

Равносильные переходы между уравнениями с модулями

Тема ``Абсолютная величина'' (или ``Модуль числа'') является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.

Посмотрим, на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению.

В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:

Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

<								>

Линейные сплайны

Пусть заданы  --- точки смены формул. Функция , определенная при всех , называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале , , , ...,, т. е.

где обозначено , .

Если к тому же выполнены условия согласования

то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Подобный график изображен на рисунке (??):

pics/ex1.eps

Функцию с графиком, показанным на этом рисунке, можно задать и одной и тремя формулами:

Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: . Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой вида

(??)

где числа , , , ...,  легко найти по графику данной функции.

Заметим, что две ломанные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин , , ...,  совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех ``одноименных'' звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка  берется за исходную, см. рисунок (??).

pics/ex2.eps

Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что  равняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , , ..., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая формулой ((??)), будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при  после раскрытия всех модулей в выражении ((??)) на соответствующих этим звеньям промежутках, находим:

(??)

Вычитая из второго равенства первое, получаем  вычитая из третьего второе, получаем  и т. д. Мы приходим в итоге к соотношениям

Складывая первое равенство с последним, получаем  откуда

(??)

Обратно, нетрудно проверить, что из равенств (3) и ((??)) вытекают соотношения ((??)).

Итак, если коэффициенты  определяются формулами (3) и ((??)), то угловые коэффициенты всех звеньев графика функции ((??)) совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и, значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для их совпадения.

Этого всегда можно добиться выбором подходящего значения оставшегося пока не определенным коэффициента . С этой целью достаточно подставить в формулу ((??)), коэффициенты которой уже вычислены из соотношений (3) и ((??)), координаты какой-либо одной точки данной ломаной и найти  из полученного равенства.

Пример  Найдем уравнение ломаной, изображенной на рисунке (??) (треугольный импульс).

pics/ex3.eps

Решение. Угловые коэффициенты звеньев таковы: , , , . Поэтому .

Значит, уравнение данной ломаной имеет вид

Найдем значение коэффициента  из условия , подставляя координаты вершины (0; 1) нашей ломаной в уравнение, получим , откуда находим, , и уравнение окончательно запишем в виде

Примеры решения задач, использующих свойства модуля

Пример  В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

Решение. Пусть деревья высотой  растут в точках . Тогда по условию . Следовательно, длина ломаной  не превосходит м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м (см. рис. (??)).

 

Пример  На отрезке  числовой оси расположены четыре точки: , , , . Докажите, что найдётcя точка , принадлежащая , такая, что .

Решение. Точки , , ,  делят отрезок  не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше . Возьмём за  центр этого интервала. Расстояние от  до концов этого интервала не меньше , а до других точек из числа , , ,  --- больше . Поэтому два из чисел , , ,  не меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.

Пример  Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым  и , пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой  от точки  к точке , находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой  от точки  к точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.

Решение. Через  часов первое тело будет находится от точки  на расстоянии  км, а второе --- на расстоянии  км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит .  км.

Ответ.  км.

Пример  Пункты  и  расположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта  в направлении пункта  выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта  в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч  выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.

Решение. Расстояние между автомобилем и мотоциклом через  часов составит . .

Ответ. 16 км.

Пример  Из пункта  в пункт  вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт  один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт  с интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от  до , если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.

Решение. Пусть  и  (мин) --- время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из  в , и пусть второй пешеход вышел позже первого на  минут. Рассмотри 2 возможности 1)  и 2) . В случае  имеем равенство  и систему

Из первого и третьего неравенства получим , учитывая второе условие получим, что , и это в свою очередь дает равенства  и . Т.о. , , .

В случае  имеем  и сиcтему

Но так как , то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.

Ответ. , , .

Пример  По расписанию автобус должен проходить путь , состоящий из отрезков , ,  длиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта  в 10 ч, он проходит пункт  в 10 ч 10 мин, пункт  в 10ч 34 мин. С какой скоростью  должен ехать автобус, чтобы время за которое автобус проходит половину пути от  до  (со скоростью ), сложенное с суммой абсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов  и , превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта  не более, чем на 28 мин.

Решение. Условие задачи приводит к системе

которая имеет единственное решение .

Ответ. 30 км/ч.

Пример  Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из  в  длиной 15 км за 1 час. При этом выходя из пункта  в 12ч, он прибывает в пункты  и , отстоящие от  на растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из  в  без остановок с постоянной скоростью  (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты , ,  не превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью  в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению:  или ?

Решение. Рассмотрим 2 случая 1) пункт  находится выше по течению 2) пункт  находится ниже по течению.

В первом случае получаем систему

которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай.

Ответ. .

Пример  Даны три квадратных трехчлена: ,  и . Докажите, что уравнение  имеет не более восьми корней.

Решение. Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов , ,  с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при  имеет вид , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения  содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Пример Шабат Г.Б. Бесконечная последовательность чисел  определяется условиями: , причем . Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если  рационально.

Решение. Если , то . Действительно, . Если  рациональное, то  рациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть  --- несократимая дробь. Тогда

Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: (??)(??)(??)(??)

Примеры решения простейших уравнений.

Пример  Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример  Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример  Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей [??] (формулы (??)--(??)).

Теорема  Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример  Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Теорема  Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример  Решить уравнение

Решение. ``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть .

Ответ. .

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

(??)

(??)

Примеры решения простейших неравенств.

Пример  Решим неравенство .

Решение.

.

Ответ. .

Пример  Решим неравенство .

Решение.

Ответ. .

Как ни странно, но  достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример  Решить неравенство

Решение.

Ответ. .

Пример  Решить неравенство

Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем

Ответ. .

Пример  При каких значениях параметра  неравенство

выполняется при всех значениях ?

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

Выполнение для всех  исходного неравенства равносильно выполнению для  всех неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырёх квадратных трёхчленов неположительны:

Ответ. .

 

Пример  Найти все значения параметра , при каждом из которых число целочисленных решений неравенства

максимально.

Решение. Так как  то исходное уравнение равносильно системе:

Поскольку оба неравенства в системе линейны относительно . Решим систему относительно :

(??)

Условия существования параметра  равносильно требованию

(??)

Неравенство (??) объявляет все значения , которые могут быть решением исходного неравенства хотя бы при одном значении параметра. Следовательно, целочисленными решениями исходного неравенства могут быть только целые числа из промежутка , то есть

(??)

Естественно, что для любого целого числа из набора (??) надо выяснить, при каких значениях параметра  это число будет решением исходного неравенства.

Поскольку исходное неравенство равносильно (??), то поочерёдно подставляя числа из набора (??) в неравенства (??), мы сразу и найдём все соответствующие значения параметра. Имеем

Чтобы выявить значения параметра, при которых исходное неравенство имеет максимальное число целочисленных решений, воспользуемся ``разверткой'', полученной информации вдоль от параметра (см. рис. (??)):

 

Очевидно, что максимальное количество целочисленных решений равно трём, и это достигается, когда  или .

Ответ. .

Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).

Построение графиков вида ,  и

Отметим правило построения графика функции .

1) Строим сначала график функции .

2) Там, где график функции  лежит выше оси  или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси , заменяем симметричными им относительно оси  точками.

Для примера, на рисунке (??) изображен график функции .

 

Для построения графика функции  cтроим график функции  для  и отображаем симметрично относительно оси .

Для примера, на рисунке (??) изображен график функции .

 

Для построения графика функции  строим график функции  для  и симметрично отображаем относительно оси .

Для примера, на рисунке (??) изображен график функции .

 

Пример  Построить график функции .

Решение. Воспользуемся правилами преобразования графиков.

1. График функции  --- биссектриса первого и третьего координатных углов.

2. График функции  получается из графика функции  отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при ) симметрично относительно оси абсцисс.

3. График функции  получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.

4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции .

5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции (см. рис (??)).

 

Исследуемая функция допускает другую форму записи

Пример  В зависимости от параметра , найти количество решений уравнения

Решение. Построим график функции  (см. рис. (??)).

 

В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при  нет корней, при  --- бесконечно много корней, при  --- четыре корня, при  --- три корня, при  --- два корня.

Пример  Докажите, что на графике функции  можно отметить такую точку , а на графике функции  --- такую точку , что расстояние  не превышает .

Решение. Положим . Точка  с координатами , где , очевидно, лежит на графике функции .

Рассмотрим положительное число . Тогда , следовательно, точка  с координатами  лежит на графике функции .

Расстояние между точками  и  равно . Но из равенства  следует, что , , .

Пример  На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: .

Решение.  или .

Ответ. см. рисунок (??)

Пример  Дана функция . Сколько решений имеет уравнение ?

Решение. Пусть  --- решение уравнения , а . Тогда и , а потому точка с координатами  лежит на каждом из графиков  и . Наоборот, если точка  лежит на пересечении этих графиков, то  и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения  совпадает с числом точек пересечения графиков  и , а их 16 (см. рис. (??)).

 Ответ. 16.

Графики функций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины

Сформулируем утверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, не раскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).

Теорема  Алгебраическая сумма модулей  линейных выражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из  прямолинейного участка. Поэтому график может быть построен по  точкам,  из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна --- произвольная точка, с абсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя --- с абсциссой, большей наибольшего из этих корней.

Замечание. Аналогично можно строить графики вида .

Примеры построения графиков

1. . Вычисляем значения функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис. (??)).

 

2. . Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из отрезка и двух лучей (см. рис. (??)).

 

3. . Для построения графика ``по отрезкам'' вычислим значение функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. (??)).

 

4. . График разности модулей строиться аналогично (см. рис. (??)).

 

Анализируя вид графиков 1, 2 и 3, можно предположить, а затем и доказать, что сумма модулей линейных выражений вида  достигает своего наименьшего значения либо в единственной точке, если число модулей нечетно, либо во всех точках некоторого отрезка, если число модулей чётно. График суммы нечетного числа модулей линейных выражений имеет форму клина, а график суммы чётного числа модулей имеет участок параллельный оси абсцисс. Более точно:

Теорема  Пусть корни подмодульных выражений упорядочены по возрастанию . Тогда если число слагаемых  нечётно и , то наименьшее значение функции  достигается в точке , а если число слагаемых  чётно и , то наименьшее значение функции достигается во всех точках отрезка .

Используем утверждение для решения задачи, предлагавшейся на одной из олимпиад Санкт-Петербургского государственного университета.

Пример  В зависимости от значения параметра , найти количество корней уравнения

Решение. Решим задачу графически. Пусть , определим количество точек пересечения графика функции  и прямой  в зависимости от . Исходя из сформулированного выше утверждения, график функции  будет иметь участок, параллельный оси абсцисс. Заметим, что абсциссы точек этого участка составляют отрезок , и во всех его точках функция достигает наименьшего значения, равного, например, , причем

Поскольку указанная сумма представляет собой удвоенную арифметическую прогрессию с первым членом 1, последним членом 999, сложенную с числом 1000, то она равна

Тогда при  уравнение не будет иметь решений, при  их будет бесконечно много, а при  уравнение будет иметь два решения.

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем Метод раскрытия модулей

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример  Решить уравнение

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .