Отметить эти точки на числовой прямой

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При  или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение  из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех  из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях  из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение  из промежутка  и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке  отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: .

При этом значении , выражение  получит значение , значит, оно на промежутке  также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: .

Выражение  получит значение  и ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'': .

Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .

Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит  является корнем уравнения.

2) При . Выбираем любое значение  из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение  положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.

3) При . Выбираем произвольное значение  из этого промежутка, скажем,  и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения  и  положительны, а  --- отрицательно. Получим следующее уравнение: .

После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , ,  которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. , .

Пример  Решить уравнение

Решение.

Ответ. , .

Использование тождества , при решении уравнений

Из сформулированного свойства модуля можно вывести два полезных следствия:

Проиллюстрируем применение первого из них для решения задачи вступительного экзамена в Санкт-Петербургский государственный университет.

Пример  Изобразить график функции

Решение. Перепишем задающую функцию выражение, используя первое следствие:

.

Осталось только построить графики функций ,  в одной системе координат и определить участки, на которых один из них выше другого (см. рис. (??)).

 

Использование второго тождества удобно для построения графика функции .

Решение. В силу второго тождества, выражение задающее функцию, записывается в виде: .

Искомый график изображен на рисунке (см. рис. (??)).

 

Пример  Найдите масимальное значение выражения

где , , ...,  --- различные натуральные числа от 1 до 1990.

Решение. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому  не больше, чем ,  не больше, чем ,  не больше, чем . Далее, данное выражение не может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностью суммы . Наконец приведем пример, показывающий, что значение выражения может равняться 1989:

Ответ. 1989.

Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример  Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если  (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:

Ответ. .

Пример  Решить уравнение

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем

Ответ. .

Пример  Решить уравнение:

Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

Ответ. .

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения  --- длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами  и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример  Решим уравнение .

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой  до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка  обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка,--- нет.

Ответ. .

Пример  Решим уравнение .

Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.

Ответ. .

Пример  Решить неравенство .

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек  и  в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. .

Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

Пример  Решите неравенство: .

Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой , которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .

Ответ. .

Пример  Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой . Сумма  равна сумме расстояний от точки  до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек  и  не меньше длины отрезка  (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что  не меньше 4, а  не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма  была равна , необходимо, чтобы . Итак,  необходимо равен . Легко проверить, что значение  действительно является решением данного уравнения.

Ответ. .

Пример Гальперин Г.А. Положительные числа , ,  и  таковы, что система уравнений

имеет  решений, а система уравнений

имеет  решений. Известно, что . Найдите  и .

Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от  и  либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак,  может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от  и  либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак,  может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо . Условию  удовлетворяет только вариант , .

Ответ. , .

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык --- удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ:

Пример  Дана функция: .

а) Решите уравнение ;

б) Решите неравенство ;

в) Найдите количество решений уравнения  в зависимости от значений параметра .

Решение. Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис. (??)).

 

Теперь решение задач не представляет труда:

а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой  с графиком функции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен ), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть , а искомая абсцисса равна .

б) Неравенство  выполнено при всех  из отрезка .

в) При ,  решений нет, при  уравнение  имеет три решения, при  --- четыре решения, при  --- два решения.

Решение уравнений с использованием тождества

Пример  Решить уравнение

Решение. Дважды применяя тождество , получим уравнение

решением которого является интервал .

Ответ. .

Пример  Решить уравнение

Решение. .

Ответ. .

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема  Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример  Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ.

Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример  Решим уравнение

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:

Нетрудно убедится, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.

В случае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример  Решите уравнение

 Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

которые можно переписать в виде

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

что приводит к четырём уравнениям:

Отсюда получаем 4 решения: , , ,  среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.

Ответ. 3.

Решение уравнений методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей

Теорема  Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример  Решим неравенство

Пусть . Областью определения данной функции есть . Решая уравнение (см. (??)), получим, что функция  не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. .

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример  Решить неравенство

Решение. ``Ловушка'' заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые -- значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Ответ. .

Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

Пример  Найти корни уравнения .

Решение. Так как , то из уравнения следует, что , . Тогда исходное уравнение примет вид: , . Корни этого уравнения , . Корень , поэтому он не является решением, а .

Ответ. .

Пример  Найти произведение корней уранения .

Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Корни этого уравнения , . Так как , то . Отсюда , . Произведение корней равно .

Ответ. .

Пример  Найти разность между наибольшими и наименьшим корнями уравнения .

Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Решим его. Корни этого уравнения , . Так как , то значение  не подходит. Поэтому . Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна .

Ответ. .

Пример  Найти сумму корней уравнения .

Решение. Используем правило: . Исходное уравнение запишем в виде совокупности уравнений:  Таким образом сумма корней исходного уравнения равна .

Другой путь. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат. Получим: , . Так как дискриминант уравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна

Ответ. .

Пример  Сколько целых корней на отрезке  имеет уравнение

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Так как , то , поэтому исходное уравнение запишется как

Последнее уравнение эквивалентно неравенству , решение которого . Таким образом, уравнение имеет 6 корней на отрезке : , , , , , .

Ответ. 6.

Пример  Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

где , ,..., , , , ...,  --- различные числа?

Решение. Положим  и перепишем исходное уравнение в виде .

Пусть  --- все числа из множества , упорядоченные по возрастанию. На каждом из 101 промежутка , ,..., , , функция  линейна. Заметим, что на первом и последнем из этих промежутков  и  соответственно, при этом , так как количество корней конечно.

Пойдем по числовой оси слева направо.

Вначале угловой коэффициент функции  равен 0. Всякий раз, когда мы проходим одну из точек , он за счет смены знака при раскрытии соответствующего модуля изменяется на .

Таким образом, он всегда равен четному целому числу и не может поменять знак, не обратившись перед этим в 0.

Значит, угловые коэффициенты на любых двух соседних промежутках либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, т.е. функция  на объединении этих промежутков либо неубывающая, либо невозрастающая.

Стало быть, если число ее корней конечно, то на каждом из 50 промежутков ,..., ,  она имеет не более одного корня. Кроме того, на крайних интервалах значения имеют разные знаки, и в каждом корне знак функции меняется. Следовательно, количество корней нечетно и не превышает 49.

Нетрудно проверить, что если роль  будут играть числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль  --- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, , то уравнение  будет иметь ровно 49 корней.

Ответ. 49.

Пример  Решите систему неравенств

Решение. Предположим, что данная система неравенств имеет решение , , , . Тогда, в частности, , т. е.

Аналогично получаем

Перемножим все полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх положительных чисел положительно. С другой стороны, это произведение равно ---

Приходим к противоречию.

Ответ. Система не имеет решений.

Пример  Существуют ли действительные числа ,  и  такие, что при всех действительных  и  выполняется неравенство

Решение. Предположим, что такие числа ,  и  существуют. Выберем  и  такие, что , , . Тогда разность между левой и правой частями равна . А если взять  и  такие, что , , , то эта разность будет равна . Таким образом, с одной стороны, , с другой . Противоречие.

Ответ. Нет.

Пример  Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство ?

Решение. При натуральном  уравнение  имеет ровно  целочисленных решений, а при  решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно .

Ответ. 19801.

Пример  Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни: .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: .

Если , тогда получим уравнение:

Дискриминант этого уравнения равен:

.

Уравнение (1) будет иметь один корень, при  и . Два корня, при  и .

Если , тогда получим уравнение:

Дискриминант этого уравнения равен:

.

Уравнение (2) будет иметь один корень при  и . Два корня --- при  и .

Делаем вывод, что при  уравнение (1) имеет один корень, а уравнение (2) --- два корня. При , уравнение (1) имеет два корня, а уравнение (2) --- один.

Таким образом, при  и  данное уравнение имеет три корня.

Найдем эти корни. При , первое уравнение примет вид: . Оно имеет один корень:

Уравнение (2) примет вид:  которое имеет два корня: , .

При , уравнение (2) примет вид: . Оно имеет один корень: .

Уравнение (1) при этом станет: , которое будет иметь корни: , .

Ответ. При , , , .

При , , , .

Пример  Для каждого значения параметра  определите число решений уравнения .

Решение.

1. Если , тогда уравнение не имеет решений, модуль любого вещественного числа неотрицателен.

2. Если , тогда получим уравнение . Это уравнение имеет два корня, так как .

3. Если , тогда получаем совокупность двух уравнений:

Первое уравнение имеет дискриминант: . Оно не будет иметь корней при , , но это невозможно, так как . Также оно не может иметь один корень (тогда , что также невозможно). Таким образом, при  уравнение (1) имеет два корня.

Второе уравнение имеет дискриминант:

. Оно не будет иметь корней, если , , . Будет иметь один корень, если . Будет иметь два корня, если .

Окончательно получаем.

Ответ. Если , тогда уравнение не имеет корней.

Если  и , тогда уравнение имеет два корня.

Если , тогда уравнение имеет три корня.

Если , тогда уравнение имеет четыре корня.

Пример  Найдите все значения параметра  из промежутка , при каждом из которых больший из корней уравнения  принимает наибольшее значение.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду .

Значит, если , , тогда . Найдем наибольшее значение , при котором , т. е. наибольшее решение неравенства .

Преобразуем это неравенство: , , , , .

Последнее неравенство решим методом интервалов, помня, что .

Решение неравенства будет множество: .

Ясно, что дробь  принимает наибольшее значение при , тогда значение  будет равно: .

Ответ. При .

Пример  Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

Решение.

Найдем решения для каждого значения , а затем отберем те, которые удовлетворяют условию задачи, т. е. при которых уравнение имеет единственное решение.

Для каждого фиксированного  будем искать решения данного уравнения сначала на промежутке , а потом на промежутке , поскольку модуль обращается в нуль при :

1) Пусть . На этом промежутке  и поэтому данное уравнение примет вид .

Найдем дискриминант полученного приведенного квадратного уравнения

, значит, при любом действительном значении  уравнение имеет два различных действительных корня:  и .

Выясним, входят ли они в промежуток . Корень  лежит в этой области только тогда, когда выполняется неравенство:  или .

Последнее неравенство равносильно системе неравенств:

Последняя система неравенств не имеет решений, значит, ни при каком значении параметра a число  не лежит в области .

Корень  лежит в рассматриваемой области тогда, когда выполнено неравенство:  или .

Решим последнее неравенство. Ясно, что этому неравенству удовлетворяют все значения  из промежутка .

При  получим неравенство . Отсюда находим: .

Таким образом, при  уравнение имеет единственное решение .

2) Пусть . На этом промежутке  и поэтому исходное уравнение можно переписать в виде . Найдем дискриминант этого уравнения: .

Уравнение не имеет решений, если , т. е. если .

Значит, уравнение не имеет корней для  из промежутка .

Если  не принадлежат этому промежутку, то квадратное уравнение имеет корни , , причем  при  и . Выясним теперь, при каких значениях параметра  найденные корни лежат в области .

Для этого нужно решить неравенства  и .

Неравенство  равносильно неравенству  или совокупности двух систем неравенств:

Множество решений первой системы имеет вид , вторая система не имеет решений. Значит, только при значении  корень уравнения  лежит в области

Неравенство  равносильно неравенству  или системе неравенств

Множество решений полученной системы неравенств есть отрезок .

Только при этих значениях параметра , корень  принадлежит области: . Таким образом, при  данное уравнение в области  решений не имеет.

Если , то уравнение в рассматриваемой области имеет единственное решение .

При значениях , лежащих в области  исходное уравнение имеет два различных корня  и . Если же , то исходное уравнение имеет единственный корень . Полученные результаты удобно свести в таблицу:

Таким образом, искомые значения  образуют два промежутка:  и .

Ответ. , .

Пример Найти все корни уравнения , удовлетворяющее неравенству .

Решение. Строим графики функций  и . Получим две точки пересечения, абсцисса только одной из них меньше , т. е. удовлетворяет условию задачи (см. рис. (??)).

pics/ex14.eps

Абсциссу точки можно получить решив уравнение .

Ответ. .

Пример  Решить аналитически и графически уравнение

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можно вносить под знак модуля, поэтому получим:

У каждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможность разложить каждый из них на линейные множители.

Уравнение примет вид: .

На числовой прямой отложим точки, в которых каждый из множителей обращается в нуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определим знаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.

Однако такой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежутки знакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение их знаков будет упрощено и сделается более наглядным (см. рис. (??)).

pics/ex9.eps

При таком схематическом изображении понятно, что:

1) при  оба трехчлена положительны и уравнение примет вид:

Решая его, находим , . Оба корня не входят в промежуток  и являются посторонними;

2) при  первый трехчлен отрицателен, а второй положителен, получим уравнение:  откуда находим корень , который входит в промежуток  и является решением уравнения;

3) при  оба трехчлена отрицательны, получаем:

, откуда , который входит в промежуток  и является решением уравнения;

4) при  первый трехчлен положителен, второй --- отрицателен, получаем уравнение:

, отсюда , который входит в промежуток  и является решением уравнения;

5) при  оба трехчлена положительны, получается такая же ситуация, как и в первом случае. И здесь, оба корня ,  не входят в промежуток и являются посторонними.

Ответ. , , .

Графическое решение

Для графического решения преобразуем уравнение:

Построим графики функций  и

График функции  будем строить в несколько этапов:

а) строим график функции ;

б) строим график функции , ``зеркально'' отразив нижнюю часть кривой  в оси ;

в) строим график функции  для этого достаточно график функции  ``опустить'' вниз (осуществить параллельный перенос вдоль оси ) на ;

г) полученный график полностью симметрично отразим в оси , ``перевернем'' вокруг оси  на .

В результате получим график функции .

График функции  построим уже известным способом: строим параболу  и зеркально отражаем в оси  только часть параболы, находящуюся ниже оси .

Находим абсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться решениями уравнения (см. рис. (??)).

pics/ex10.eps

Абсциссы точек пересечения следующие: 1,75; 2,5 и 3,25. Они и будут решениями уравнения.

Пример  Решите уравнение .

Решение. Решать будем это уравнение последовательно ``раскрывая'' модули, начиная с ``внешнего'' и ``приближаясь'' к переменной .

После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:

(1)  или (2) .

Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:

,

(3)  или (4) .

Из уравнения (3) находим: ,  из уравнения (4) находим: ,

Решая уравнение (2), также получим: , которое распадается два уравнения:

()  или () .

Из () получаем: , ,  Из () , которое не имеет решений.

Ответ.

Пример  Решить уравнение:

Решение. ОДЗ данного уравнения:

Простой проверкой нетрудно убедиться, что  и  --- решения данного уравнения.

Ответ. .

Если решать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получится уравнение

У этого уравнения добавится ``лишний'' корень , не принадлежащий ОДЗ.

Преобразование , не равносильное, т.к.  входит в ОДЗ исходного выражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.

Нюанс состоит в том, что при  функция  существует и при , т.к. на что ноль ни умножай --- будет ноль.

Пример  Решить уравнение .

Решение. Начнем раскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо больше времени):

1. При  имеем .

Теперь рассмотрим два случая:

а) , т.е. ;

б)  и

Т.к. функция, стоящая в первой части исходного уравнения, --- четная, то решением так же будет  и .

Ответ. .

Пример  Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если  (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:

Ответ. .

Пример  Все значения квадратного трёхчлена  на отрезке  по модулю не превосходят 1. Какое наибольшее значение при этом может иметь величина ?

Ответ. Максимальное значение величины  равно 17.

Докажем это. Сначала докажем, что эта величина не может быть больше 17. Так как значения трёхчлена  на отрезке  по модулю не превосходят единицы, то , , , то есть , , . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то

Следовательно, . Осталось заметить, что квадратный трёхчлен  удовлетворяет условию задачи и для него величина  равна 17.

 Пример  Найдите наибольшее целое значение параметра , при котором уравнение  не имеет решений.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению

Вторая система имеет решение только при  (при этом ее решениями будут все ). Первая система не имеет решений, если  При этом наибольшее целое , очевидно, равно .

Ответ. .

Заключение

Материал данной дипломной работы адресован учителям математики, преподавателям подготовительных курсов, школьникам и абитуриентам. Рассмотрены свойства абсолютных величин, приведены теоремы о равносильных преобразованиях уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Сформулированы малоизвестные утверждения, существенно упрощающие традиционные алгоритмические способы решения школьных, конкурсных и олимпиадных задач. Теоретический материал проиллюстрирован значительным количеством заданий (более 80) из вступительных экзаменов, математических олимпиад и заданий централизованного тестирования.

Список использованных источников

[1] Веременок В. В., Практикум по математикеке, подготовка к тестированию и экзамену/Веременок В. В., Кожушко В. В. --- Мн.: Тетра-Системз, 2006.

[2] Д. Гущин, Мощное решение. Уравнения и неравенства с модулями //Учительская газета №39.

[3] В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 3. Нестандартная техника решения неравенств с модулем // Математика №5, 2005 с. 24--31.

[4] В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма модулей// Математика № 12, 2005 с.41--48.

[5] Тишин В. И., Математика для учителей и учащихся: рациональные алгебраические уравнения/ Тишин В. И. --- п. Комаричи, 2002. --- 167с.

[6] О. Игудисман, Математика на устном экзамене/ О. Игудисман --- М.: Айрис Пресс, Рольф, 2001---254с.

[7] Математика: готовимся к централизованному тестированию: Анализ ошибок 2007 года. Комментарии к ответам. Тренировочные тесты/ Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь.--- Мн.: Аверсэв, 2008. --- 64 с.

[8] Азаров А.И., Математика: задачи-<<ловушки>> на централизованном тестировании и экзамене/ А.И. Азаров, С.А. Барвенов, В.С. Романчик. --- 2-е изд., перераб.,--- Мн.: Аверсэв, 2006. --- 176с.

[9] Куланин Е.Д., 3000 конкурсных задач по математике/Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. --- 10-е изд. --- М.: Айрис-пресс, 2007. --- 624с.

[10] Веременюк В. В., Математика: учимся быстро решать тесты: пособие для подгот. к тестированию и экзамену/ В. В. Веременюк, Е. А. Крушевский, И. Д. Беганская. --- 4-е изд. --- Минск: ТетраСистемс, 2006. --- 176с.

[11] Азаров А. И., Математика для старшеклассников: Методы решения алгебраических уравнений, неравенств и систем: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования/А. И. Азаров, С. А. Барвенов. --- Мн.: Аверсэв, 2004. --- 448с.