Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „е”

1.4 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „е”

 

Доведемо ірраціональність і трансцендентність числа  .

Теорема 1.4.1.Число  ірраціональне.

Доведення. Припустимо, що , де  й  натуральні числа.Відомо, що

Із  треба, що () – було ціле число, тоді цілим буде й число [9]

Ми одержуємо звідси ,

Тобто між 0 і 1 лежить ціле число. Припущення, що  раціональне, привело нас до протиріччя, значить ірраціональне.

Теорема доведена.

Другий шлях доказу ірраціональності e [23].

Припустимо, що  раціонально. Тоді , де  — ціле, а  — натуральне, звідки

Множачи обидві частини рівняння на , одержуємо

Переносимо в ліву частину:

Всі доданки правої частини цілі, отже:

 — ціле

Але з іншої сторони

Знов одержуємо протиріччя.

Трансцендентність була доведена тільки в 1873 році французьким математиком Шарлем Ермітом [22].

Теорема 1.4.2. Число  трансцендентно.

Доведення. Припустимо, що  корінь багаточлена із цілими коефіцієнтами  так що

(1.4.1)

Позначимо через  найбільшу з абсолютних величин коефіцієнтів , так що при всіх  маємо .

При заданому  функція  при збільшенні  прагне до нуля й, оскільки існують які завгодно більші прості числа, ми можемо вибрати просте число  так , що будуть одночасно виконуватися умови:

Розглянемо функцію ступеня

Інтегруючи вроздріб , знаходь :

Продовжимо цей процес, поки не дійдемо до похідної порядку , рівної тотожно нулю. Одержимо :

 

(1.4.2)

де ( до похідної порядку ).

Підставляючи в (1.4.2) замість  число  й множачи на ,, маємо:

(1.4.3)

Надаючи  значення  та складаючи при  рівності (1.4.3) і беручи до уваги , що через тотожність (1.4.2) права частина виходить рівною нулю, знаходимо:

(1.4.4)

Розкладання  по ступенях  має вигляд :

, (1.4.5)

 

де  цілі числа. Одержуємо:

 ,

а є ціле число, оскільки  просте й , не ділиться на ;

  , як легко бачити з (1.4.4), цілі числа, що діляться на ;

 являє собою суму цілого числа , що не ділиться на , і інші цілі числа, кратні , так що не є дільником. Оскільки , те буде також  не є дільником .

Розкладання  по ступенях , де  , має вигляд

(1.4.6)

де всі коефіцієнти  цілі числа.

Диференціюючи (1.4.6), легко бачити, що при всіх таких :

ціле число , що ділиться на .

У сумі

 

 

перший доданок не ділиться на , а всі інші доданки діляться на , так що ціле число , що не ділиться на , і , таким чином, відмінне від нуля.

Ціле число, відмінне від нуля, має модуль, більший або дорівнюючий одиниці, так що .

Оцінимо тепер величину  зверху. Згідно (1.4.4.):

 

У всіх інтегралах, що входять в , величина  пробігає значення, що не виходять за межі сегмента , а при таких  справедлива нерівність:

так , що при всіх  маємо

 

що суперечить отриманій раніше нерівності .

Таким чином, припущення, що  алгебраїчне число, привело нас до протиріччя; отже, неалгебраїчне число, тобто трансцендентне число.

Теорема доведена.

РОЗДІЛ ІІ

НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „π”