Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою числових рядів

2.1 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою числових рядів

Число p з'являється не тільки при рішенні геометричних задач. Із часу Ф.Віета (1540–1603) розвідка меж деяких арифметичних послідовностей, що встановлені простими законами, приводило до того ж числа p . У зв'язку із цим у визначенні числа p брали участь майже всі відомі математики: Ф.Віет, Х.Гюйгенс, Дж.Валліс, Г.В.Лейбніц, Л.Ойлер [21]. Вони одержували різні вирази для p у вигляді нескінченного добутку, суми ряду, нескінченного дробу.

Наприклад, в 1593 Ф.Виет (15401603) вивів формулу [21]

В 1665 Джон Валліс (16161703) довів, що [21]

,

Або

.

Ця формула має його ім'я. Для практичного знаходження числа p вона мало придатна, але корисна в різних теоретичних міркуваннях. В історію науки вона ввійшла як один з перших прикладів нескінченних добутків.

Готфрид Вільгельм Лейбниц (16461716) в 1673 установив наступну формулу [21]:

яка представляє число p /4 як суму ряду. Однак цей ряд сходиться дуже повільно. Щоб обчислити p з точністю до десяти знаків, треба було б, як показав Ісаак Ньютон, знайти суму 5 млрд чисел і затратити на це біля тисячі років безперервної роботи.

Леонарду Ойлеру належать і інші гарні формули рядів повільної східності, що включають p [21]:

,

,

.

В останній формулі в чисельнику розташовані всі прості числа, а знаменники відрізняються від них на одиницю, причому знаменник більше чисельника, якщо той має вигляд 4n + 1, і менше в противному випадку.

Лондонський математик Джон Мэчин (16801751) в 1706, застосовуючи формулу [21]

одержав вираження

arctg 1 = 4 arctg – arctg .

Підстановка в нього arctg 1 =  і рядів для arctg x

 (arctg x = ) приводить до формули

,

яка дотепер уважається однієї із кращих для наближеного обчислення p . Щоб знайти ті ж десять точних десяткових знаків, буде потрібно всього кілька годин ручного рахунку. Сам Джон Мэчин обчислив p з 100 вірними знаками.

Скористаємося відомим рядом для арктангенса [21]:

(2.1.1)

Якщо взяти, то , і ми одержимо ряд

(2.1.2)

уже придатний для обчислення/

Скористаємось формулою додавання для арктангенса

(2.1.3)

і вибираючи в якості  і  якінебудь два правильні дроби , що задовольняють співвідношенню

 або  (2.1.4)

будемо мати

(2.1.5)

Наприклад, поклавши , одержимо ряд

(2.1.6)

Існують, однак, ряди, ще більш ефективні для розрахунку числа .

Покладемо  тоді

Через близькість цього числа до , ясно, що кут  близький до .

Поклавши:

, будемо мати :

 так що

Звідси

це формула Мєшина (J.Machin).

Обчислимо по ній число  з 7ю знаками після коми. Для цього досить тих членів формули, які фактично виписані. Тому що обидва ряди – типу рядів Лейбниця, то виправлення в зменшуваному й від'ємнику на відкидання невиписаних членів, відповідно, будуть:

 і

Збережені члени (2.6) перетворимо у десяткові дроби, округляючи їх ( за правилом доповнення ) на восьмому знаку. Обчислення зведені в таблицю ( у дужках указує знак виправлення):

З огляду на всі виправлення, маємо:

так що

Отже , остаточно  причому всі виписані знаки вірні.

C допомогою того ж ряду для arctg x і формули

p = 24 arctg + 8 arctg + 4 arctg

значення числа p було отримано на ЕОМ з точністю до ста тисяч десяткових знаків. Такого роду обчислення становлять інтерес у зв'язку з поняттям випадкових і псевдовипадкових чисел. Статистична обробка впорядкованої сукупності зазначеної кількості знаків p показує, що вона має багато рис випадкової послідовності. А так виглядає 101 знак числа p без округлення:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.