Уравнения Лагранжа второго рода

5 Уравнения Лагранжа второго рода

 

Предположим, что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор  любой точки М, этой системы является функцией обобщенных координат  и времени t:

,). (2)

Обобщенные координаты системы  являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор  является сложной функцией времени и вектор скорости точки , определяется по правилу дифференцирования сложной функции:

 (3)

Из выражения (3) следует, что частная производная от  по какой-либо обобщенной скорости  равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате :

 (4)

Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле:

 (5)

Из выражения (3) следует, что вектор скорости точки  в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

 (6)

Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате  и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (5) как сложную функцию:

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (4):

Продифференцируем это выражение по времени:

 (7)

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (7), учитывая, что для несвободной материальной точки

1. С помощью равенства (1), определяющего обобщенную силу, находим:

2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

Частная производная является функцией тех же переменных, от которых, согласно (2), зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем  как сложную функцию времени:

 (8)

Найдем частную производную , дифференцируя по  выражение (3):

 (9)

Правые части выражений (8) и (9) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно,

.

Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (7):

=

Подставляя найденные значения обеих сумм в равенство (7) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых :

+,

или

=(j = 1,2,…, s). (10)

Систему s дифференциальных уравнений (10) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы .Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

 (j=1, 2,…, s).