Расчетная часть

2. Расчетная часть

Исходные данные

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20 %-ная механическая), млн. руб.:

№ № предприятия п/п	Фонд заработной платы млн. руб.	Среднесписочная численность работников чел	№ предприятия п/п	Фонд заработной платы млн. руб.	Среднесписочная численность работников чел
1	11,340	162	16	11,502	162
2	8,112	156	17	16,356	188
3	15,036	179	18	12,792	164
4	19,012	194	19	17,472	192
5	13,035	165	20	5,85	130
6	8,532	158	21	9,858	159
7	26,400	220	22	11,826	162
8	17,100	190	23	18,142	193
9	12,062	163	24	8,848	158
10	9,540	159	25	13,944	168
11	13,694	167	26	23,920	208
12	21,320	205	27	13,280	166
13	16,082	187	28	22,356	207
14	10,465	161	29	10,948	161
15	4,32	120	30	15,810	186

 

Задание 1

Признак – Среднегодовая заработная плата (определите как отношение фонда заработной платы к среднесписочной численности работников).

Число групп – пять.

Решение:

Прежде всего, рассчитаем среднегодовую заработную плату работников на каждом предприятии, как указано в задании, и отсортируем их по возрастанию заработной платы для удобства дальнейших расчётов; результаты отразим в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Таблица результатов расчета среднегодовой заработной платы (предприятия отсортированы по возрастанию заработной платы)

№ п/п	Фонд заработной платы, млн. руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб./чел.
15	4,32	120	36
20	5,85	130	45
2	8,112	156	52
6	8,532	158	54
24	8,848	158	56
10	9,54	159	60
21	9,858	159	62
14	10,465	161	65
29	10,948	161	68
1	11,34	162	70
16	11,502	162	71
22	11,826	162	73
9	12,062	163	74
18	12,792	164	78
5	13,035	165	79
27	13,28	166	80
11	13,694	167	82
25	13,944	168	83
3	15,036	179	84
30	15,81	186	85
13	16,082	187	86
17	16,356	188	87
8	17,1	190	90
19	17,472	192	91
23	18,142	193	94
4	19,012	194	98
12	21,32	205	104
28	22,356	207	108
7	26,4	220	120
26	23,92	208	115
7	26,4	220	120

Для того чтобы разбить данные предприятия на пять групп с равными интервалами по среднегодовой заработной плате, необходимо рассчитать величину шага разбиения по формуле:

i = (Xmax-Xmin)/n, где n – число образуемых групп.

i = (120 - 36) / 5 = 16,8 (тыс. руб./чел.).

Распределение предприятий по группам по среднегодовой заработной плате продукции представлено в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Распределение предприятий по уровню рентабельности

Группы предприятий по среднегодовой заработной плате	Интервал, тыс. руб./чел.		Количество предприятий	Кумулятивная частота
1	36,0	52,8	3	3
2	52,8	69,6	6	9
3	69,6	86,4	12	21
4	86,4	103,2	5	26
5	103,2	120,0	4	30
Итого:			30	-

Согласно данным таблицы 2.2 построим графики полученного ряда распределения.

Рис. 2.1: Гистограмма распределения предприятий по уровню заработной платы

Рис. 2.2: Кумулята распределения предприятий по уровню рентабельности

По графикам видно, что Мо = 78, а Ме = 69,6. Конечно, при определении значений по графикам имеет место небольшая погрешность.

Для расчёта средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации применяем формулы во взвешенной форме, так как данные сгруппированы и представлены в виде интервального ряда.

Для расчета указанных величин нам понадобятся некоторые промежуточные данные, представленные в таблице 2.3

Таблица 2.3

Данные для расчёта средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации

№ группы	Интервал		Число п/п (fi)	Середина интервала (хi)	хi* fi	хi2* fi	хi-ха	(хi-ха)2* fi
1	36,0	52,8	3	44,4	133,2	5914,08	-34,16	3500,72
2	52,8	69,6	6	61,2	367,2	22472,64	-17,36	1808,22
3	69,6	86,4	12	78,0	936	73008	-0,56	3,76
4	86,4	103,2	5	94,8	474	44935,2	16,24	1318,69
5	103,2	120,0	4	111,6	446,4	49818,24	33,04	4366,57
Итого	30	-	30	-	2356,8	196148,16	-	10997,95

1) Для расчёта средней арифметической используется следующая формула:

ха = ∑ хifi / ∑ fi = 2356,8/30 = 78,56 тыс. руб./чел.

2) Расчёт средней квадратической произведём по формуле:

хкв = ∑ хi2fi / ∑ fi = 196148,16/30 = 80,86

3) Среднее квадратическое отклонение высчитывается по формуле:

σ = ∑(хi-ха)2 fi / ∑ fi = 10997,95/30 = 19,147 тыс. руб./чел.

4) Тогда коэффициент вариации будет равен:

Vδ = σ /ха = (19,147/78,56)100 = 24,4%

Теперь вычислим среднюю арифметическую по данным таблицы 5, расчёт будем производить по формуле:

ха = ∑ хi / n = 2350/30 = 78,33 тыс. руб./чел.

Полученный результат отличен от приведённого выше, так как в данном случае расчет проводился для несгруппированных данных, представленных в виде дискретного ряда. Следовательно, расчёт проводился по формуле средней арифметической простой.

Таким образом, по результатам задания №1 можно сделать такой вывод: коэффициент вариации (24,4%) не превышает 33%, что говорит о том, что найденная средняя заработная плата является типичной характеристикой, а также об однородности совокупности предприятий по данному признаку.

Задание 2

Связь между признаками – фонд заработной платы и среднегодовая заработная плата

Решение:

Сначала установим связь между указанными признаками методом аналитической группировки. В качестве факторного признака будет выступать фонд заработной платы работников предприятия, а в качестве результативного – среднегодовая заработная плата. Сначала необходимо рассчитать величину интервала: i = (26,4 – 4,3)/5 = 4,42

Результаты группировки отражены в таблицах 2.4 и 2.5 (для составления таблицы 2.5 будут использоваться данные из таблицы 2.4).

Таблица 2.4

Зависимость рентабельности от объёма выпуска продукции

Группы предприятий по размеру фонда оплаты труда	Интервал		Количество предприятий	Среднегодовая заработная плата, тыс.руб./чел.
				всего	в среднем на 1 предприятие
1	4,3	8,72	4	187	46,75
2	8,72	13,14	11	756	68,73
3	13,14	17,56	9	768	85,33
4	17,56	21,98	3	296	98,67
5	21,98	26,4	3	343	114,33
Итого:			30	2350	78,33

Таблица 2.5

Корреляционная таблица

Группы предприятий по размеру ФОТ		4,3 – 8,72	8,72 –13,14	13,14-17,56	17,56-21,98	21,98 – 26,4	Частота
Группы предприятий по уровню зарплаты
36,0	52,8	3	-	-	-	-	3
52,8	69,6	1	5	-	-	-	6
69,6	86,4	-	6	6	-	-	12
86,4	103,2	-	-	3	2	-	5
103,2	120,0	-	-	-	1	3	4
Частота		4	11	9	3	3	30

Теперь измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения. Для удобства расчёта указанных показателей представим в таблице 2.6 некоторые промежуточные данные.

Таблица 2.6

Промежуточные расчеты

Показатель	x1	х2	х3	х4	х5	ха	x1-xa	х2-xa	х3-xa	х4-xa	х5-xa
Значение	46,75	68,73	85,33	98,67	114,33	78,33	-31,58	-9,6	7,0	20,34	36

х1 – х5 – групповые средние (хj); ха – общая средняя.

Общую дисперсию рассчитаем по формуле:

Σобщ2 = (∑ хi2 / n)-( ∑ хi / n)2;

Σобщ2 = (195626/30)-(78,33)2 = 385,28

Величина межгрупповой дисперсии определяется по следующей формуле:

Δ2 = ∑(хj-ха)2 nj / ∑nj , где nj – число единиц в j-той группе

После вычисления имеем: δ2 = 352,44.

Теперь мы имеем все данные для расчёта коэффициента детерминации (η2)и эмпирического корреляционного отношения (η).

η2 = δ2/σобщ2 η = δ2/σобщ2

η2 = (352,44/385,28)*100 = 91,5%;

η = 352,44/385,28 = 0,956

Таким образом, по результатам выполнения задачи №2 можно сделать следующие выводы:

из таблицы 2.4 видно, что с ростом фонда оплаты труда от группы к группе, увеличивается и среднегодовая заработная плата от группы к группе. Следовательно, связь между рассматриваемыми признаками прямая корреляционная;

выводы, сделанные в п.1) подтверждаются и корреляционной таблицей, где присутствует ярко выраженное распределение предприятий вдоль диагонали (таблица 2.5);

коэффициента детерминации (91,5%) показывает, что среднегодовая зарплата почти на 91,5% объясняется различием в размере фонда оплаты труда и только на 8,5% - другими признаками;

эмпирическое корреляционное отношение (0,956, т.е. близко к единице) свидетельствует, что на среднегодовую зарплату существенно влияет размер фонда оплаты труда.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

Ошибку выборки среднегодовой заработной платы и границы, в которых будет находиться уровень среднегодовой заработной платы в генеральной совокупности.

Ошибку выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находится генеральная доля.

Решение:

Расчёт ошибки выборки среднего уровня рентабельности будем производить по формуле:

Δх = tμх = (σ2/n)(1-n/N)

а ошибку выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более по следующей формуле:

Δw = tμw = (w(1-w)/n)(1-n/N)

Данные, необходимые для расчёта, представлены в следующей таблице

Таблица 2.7

Показатель	P	t	N, шт.	n, шт.	xa, тыс.руб./чел.	σ	w
Значение	0,954	2,0	150	30	78,33	19,147	0,300

Р – доверительная вероятность;

t – коэффициент доверия;

n – число единиц выборочной совокупности;

N – число единиц генеральной совокупности;

w – доля единиц, обладающих данным признаком;

σ – среднее квадратическое отклонение.

Δх = 2,0 ((19,147)2/30)(1-30/150) = 6,25 (тыс. руб./чел.)

Таким образом, среднегодовая заработная плата на предприятиях генеральной совокупности с вероятностью 0,954 будет находиться в промежутке: 72,08 ≤ 78,33 ≤ 84,58.

Δw = 2,0 (0,30(1- 0,30)/30)(1-30/150) = 0,149

Следовательно, от 15,1 до 44,9% организаций с вероятностью 0,954 будут превышать уровень среднегодовой зарплаты 86,4 тыс. руб./чел.

Задание 4

Имеются следующие данные по двум организациям:

Организация	базисный период		отчетный период
	Средняя заработная плата, руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Средняя заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб
1	5000	100	6500	682,5
2	5600	100	8000	760,0

Определите: